三角関数の公式(sin,cos,tan)と覚え方

三角関数の公式(sin,cos,tan)と覚え方

「三角関数の公式を忘れた」
「三角関数が覚えられなくて...」
今回はこんな悩みを解決します。

高校生
三角関数がほんとに苦手で...

 

三角関数が苦手な高校生は多いですよね。

覚える公式がたくさんあり、多くの生徒がパンクしそうになる単元です。

 

そんな三角関数の公式のなかで、1番基本となるのが以下の三角比の公式です。

三角関数の各値

ただし、上の表をぜんぶ丸暗記するのは効率が悪いです。

暗記するのではなく、三角比の各値の求め方を覚えましょう。

 

本記事は三角関数の公式と覚え方を解説します。

記事内容

『マストラ』運営者情報

 

三角関数の基礎から学びたい方は、ヨビノリのたくみさんが分かりやすく解説しています。

少し長い動画ですが、時間がある方はぜひご覧ください。

三角関数のまとめ記事へ

三角関数の公式

まず原点\(O\)を中心とする半径\(r\)の円を描きます。

三角関数の公式

 

\(x\)軸の正の方向(つまり右)に対して、線分\(OA\)による角の大きさを\(\angle AOB=\theta \)とするとき、

  • \(\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}\)
  • \(\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}\)
  • \(\tan \theta =\displaystyle \frac{y}{x}\)

このように直角三角形において、各辺の比を表したものが三角関数です。

 

まだピンと来ていないと思うので、実際に数字を入れてみましょう!

 

三角関数では中心角を\(360^\circ\)ではなく、\(2\pi\)と表します。

この表し方は弧度法といい、弧度法とは?弧度法の変換や面積公式すべて解説!で解説しています。

したがって、\(180^\circ=\pi\)、\(60^\circ=\displaystyle \frac{\pi}{3}\)のようになります。

 

三角関数の公式

三角関数の公式

三角関数の公式

このように、斜辺の長さ、\(x\)座標、\(y\)座標が分かっていれば三角関数を表すことができます。

また、\(90^\circ\)を超える場合も、三角形をイメージすることで三角関数を求めることができます。

三角関数の公式

 

三角関数が表すもの

高校生
sinが分かると何かいいことあるの?
結局、三角関数ってなに!?

「結局、三角関数ってなに!」

そんな声が聞こえてきそうですね。

 

三角関数は辺の比を表しているのです。

そういわれてもむずかしいので、図を見ながら解説します。

例えば、下の図のような三角形があったとします。

三角関数が表すもの

この三角形の三角関数が\(sin \theta=\displaystyle \frac{5}{13}\)、\(cos \theta=\displaystyle \frac{12}{13}\)と分かっているとき、

三角関数が表すもの

斜辺の長さに対して、sinを掛けると縦の辺の長さが分かります。

\begin{eqnarray}
y&=&13\times sin \theta\\
\displaystyle &=&13 \times \frac{5}{13}\\
&=&5
\end{eqnarray}
また、斜辺の辺の長さに対してcosを掛けると横の長さが分かります。

\begin{eqnarray}
x&=&13\times cos \theta\\
\displaystyle &=&13 \times \frac{12}{13}\\
&=&12
\end{eqnarray}

三角関数が表すもの

斜辺の長さに対して、sinを掛けると縦の辺の長さが分かる。
\begin{eqnarray}
\displaystyle 13\times sin \theta &=& 13 \times \frac{5}{13}\\
&=&5
\end{eqnarray}
斜辺の辺の長さに対して、cosを掛けると横の長さが分かる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle 13\times cos \theta &=& 13 \times \frac{12}{13}\\
&=&12
\end{eqnarray}

三角関数を説明するとどうしても難しくなってしまいますが、三角関数を使うと辺の長さや角度の大きさが分かるようになるのです。

 

三角関数のポイント

斜辺の長さ × sin ⇒縦の辺の長さ
斜辺の長さ × cos ⇒横の辺の長さ
横の辺の長さ × tan ⇒縦の長さ

三角関数のまとめ記事もぜひご覧ください。
《完全攻略》三角関数のまとめ

三角関数(sin,cos,tan)の覚え方

高校生
sin60°がいくつとか覚えられないです...

 

三角比の表は暗記してはいけません。

それはあまりにも効率が悪すぎるし、テストで絶対に忘れます。

 

なので、表を暗記するのではなくて求め方を覚えてください。

 

sin,cos,tanのアルファベットの頭文字に注目します。

三角関数(sin,cos,tan)の覚え方
三角関数(sin,cos,tan)の覚え方
三角関数(sin,cos,tan)の覚え方

本当にテストで忘れるので、必ず求め方を覚えましょう

 

三角関数のまとめ記事へ

三角関数<練習問題>

三角関数<練習問題>

三角関数の公式を使って練習問題を解いてみましょう。

練習問題1
下の三角形の\(\sin \theta\)、\(\cos \theta\)、\(\tan \theta\)を求めよ。
三角関数<練習問題>

解答

\(\sin \theta\)は斜辺に対してアルファベットのSの動きで求めることができました。

練習問題の解説

したがって、斜辺の長さが\(\sqrt{13}\)で、縦の長さが\(2\)なので、

\(\sin \theta=\displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\)

最後は分母からルートが無くなるように有理化をしました。

これで\(\sin \theta\)の値を求めることができました。

 

つぎに\(\cos \theta\)を求めます。

\(\cos \theta\)は斜辺に対してアルファベットのCの動きで求めることができます。

練習問題の解説

斜辺の長さが\(\sqrt{13}\)で、縦の長さが\(3\)なので、

三角関数<練習問題>

 

\(\cos \theta=\displaystyle \frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}\)

\(\cos \theta\)の値を求めることができました。

 

最後に\(\tan \theta\)の値を求めます。

\(\tan \theta\)は縦の長さを横の長さで割ると求められます。

三角関数(sin,cos,tan)の覚え方

三角関数<練習問題>

横の長さが3で、縦の長さが2なので、

\(\tan \theta=\displaystyle \frac{2}{3}\)

 

これで\(\sin \theta , \cos \theta , \tan \theta\)の値を求めることができました。

このようにアルファベットs,c,tの動きを覚えていれば、\(\sin , \cos , \tan \)の値を求めることができます。

練習問題2

下の三角形において、\(\sin \theta=\displaystyle \frac{3}{5}\)、\(\cos \theta=\displaystyle \frac{4}{5}\)のとき、\(x,y\)の値を求めよう。

三角関数<練習問題>

 

解答

つぎは三角比が分かっている状態で、各辺の長さを求める練習をします。

斜辺の長さ × sin ⇒縦の辺の長さ
斜辺の長さ × cos ⇒横の辺の長さ
横の辺の長さ × tan ⇒縦の長さ

縦の長さ\(y\)は、斜辺に長さに\(\sin \theta \)を掛けることで求められます。

\begin{eqnarray}
y&=&5\times \sin \theta\\
\displaystyle &=&5 \times \frac{3}{5}\\
&=&3
\end{eqnarray}

横の長さは\(x\)は、斜辺の長さに\(\cos \theta \)を掛けると求められます。

\begin{eqnarray}
x&=&5 \times \cos \theta\\
\displaystyle &=&5 \times \frac{4}{5}\\
&=&4
\end{eqnarray}

各辺の長さや\(\sin \theta \)を求められるようにしましょう。

三角関数(sin,cos,tan) まとめ

今回は三角関数から、三角関数の公式と覚え方をまとめました。

これは基礎中の基礎なので、しっかりと押さえておきましょう。

三角関数の公式 まとめ

三角関数の公式

  • \(\sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}\)
  • \(\cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}\)
  • \(\tan \theta =\displaystyle \frac{y}{x}\)

斜辺の長さ × sin ⇒縦の辺の長さ
斜辺の長さ × cos ⇒横の辺の長さ
横の辺の長さ × tan ⇒縦の長さ

三角比の表を丸暗記するのではなく、三角形の辺の長さから三角比を求められるようになりましょう。

 

三角関数には重要な公式がたくさんあります。

正弦定理加法定理についても別記事でまとめています。

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三角関数が苦手な方にはこちらの参考書がおすすめです。


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