等差数列の一般項と和の公式

$等差数列の一般項と和の公式$

こんにちは、ゆうやです。

今回は等差数列に関する悩みを解決していきます。

等差数列ってなに？
等差数列は分かるけど式にできない
等差数列の和の公式を忘れた

等差数列はキホンとなる数列なので、正しく理解しておかないと大変なことになります。

今回は等差数列の一般項の表し方と和の公式を確認していきます。

一緒に等差数列をマスターしましょう！

記事の内容
・等差数列とは？
・等差数列の一般項
・等差数列の和の公式
・等差数列《練習問題》

ライター紹介国公立教育大学を卒業
数学講師歴5年
担当した生徒の数は100人以上
高校数学を網羅するサイト作成中

1 等差数列とは？
2 等差数列を一般項で表す
3 等差数列の和の公式
- 3.1 等差数列の和の公式①
- 3.2 等差数列の和の公式②
4 等差数列《練習問題》
5 等差数列　まとめ

等差数列とは？

等差数列とは、「初めの項に一定の数を足していく数列」を指します。

$等差数列$

数列の初めの項を初項、最後の項を末項といいます。

また、等差数列において隣り合う２つの項の差を公差といいます。

以下のような数列があるとします。

$等差数列とは？$

この数列は初項5、末項40、公差7、項数6の等差数列といいます。

$等差数列とは？$

等差数列を一般項で表す

等差数列の一般項初項$a_{1}$、公差$d$の等差数列$\{a_{n}\}$とすると、

　$a_{n}=a_{1} + (n-1)d$

一般項とは、数列の第$n$項を式で表したものです。

等差数列は初項に公差を加え続けていく数列です。

$a_{1}　a_{2}　a_{3}　a_{4} ...　a_{n}$
　
等差数列の第$n$項を$a_{n}$とすると、
　
$a_{1}=a_{1}$←初項

$a_{2}=a_{1} + d$

$a_{3}=a_{1} + 2d$
.
.
.
$a_{n}=a_{1} + (n-1)d$

したがって、等差数列の一般項は

$a_{n}=a_{1} + (n-1)d$となります。

等差数列の和の公式

$等差数列の和の公式$

等差数列の項の和を求める問題もよく出題されます。

等差数列の和は公式があるので、確実に覚えておきたいです。

等差数列の和$\displaystyle S_{n}= \frac{n}{2}(a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} \{2 a_{1}+(n-1)d\}$

実際に等差数列の和を2つのやり方で求めてみます。

等差数列の和の公式①

このような等差数列があったとしましょう。

$等差数列の和$

この数列は初項5、末項40、項数6の等差数列です。

よって初項から第6項までの和は

$\displaystyle S_{6}=\frac{6}{2}(5+40)$

$\displaystyle =3 \times{45}$

$=135$

初項、末項、項数が分かる場合はこの求め方で和を求めましょう。

等差数列の和の公式②

同じ等差数列の和をもう1つの求め方で求めましょう。

$等差数列の和の公式$

この数列を初項5、公差7、項数6の等差数列と見て

$\displaystyle S_{6}=\frac{6}{2}\{2 \times{5}+(6-1)\times{7}\}$

$\displaystyle =3(10 + 35)$

$=135$

末項が分かっているか、もしくは公差が分かっているかで求め方が変えると良いでしょう。

等差数列《練習問題》

等差数列の練習問題に挑戦してみましょう！

分からない場合は上に戻って復習してから再挑戦！

等差数列次の数列の一般項と第$n$項までの和を求めよ。
　3　7　11　15　19　23　...

解答

この数列は初項3、公差4の等差数列です。

第$n$項は初項に公差4を(n-1)回たしたものなので、

$a_{n}=3+4(n-1)=4n-1$

よって、一般項$a_{n}=4n-1$となります。

次に第$n$項までの和を求めます。

等差数列の和の公式

$\displaystyle S_{n}=\frac{n}{2} \{2 a_{1}+(n-1)d\}$

に数字を代入して、

$\displaystyle S_{n}=\frac{n}{2} \{2 \times{3} +(n-1) \times{4} \}$

$=n\{3 + 2(n-1)\}$

$=2n^{2}+n$

したがって

解答　　$a_{n}=4n-1$

　　$S_{n}=2n^{2}+n$

等差数列　まとめ

今回は等差数列について詳しく解説しました。

等差数列とは？
　　初めの項に一定の数を足していく数列

等差数列の一般項
　　$a_{n}=a_{1} + (n-1)d$

等差数列の和の公式
　　$\displaystyle S_{n}=\frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})=\frac{n}{2}\{2 a_{1} +(n-1)d\}$

他にも教科書に内容に沿った解説記事を載せています。

お気に入り登録して定期試験前に確認してください。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

みんなの努力が報われますように！

【完全攻略】数列まとめへ戻る

順位	1位	2位	3位
名称	スタディサプリ $スタディサプリ$	トライイット $トライイット$	進研ゼミ $進研ゼミ$
対象	小・中・高	中・高	小・中・高
特徴	圧倒的コスパの良さ 40,000本の授業が見放題	無料でこんなにいいの！？ハイクオリティな授業	学習塾業界シェア率1位個別カリキュラム
料金	月額1,980円で見放題（ベーシックプラン）	無料（一部有料）	月額10,410円高校講座5教科
公式	スタディサプリ公式	トライイット	進研ゼミ