数学ⅡB

等差数列の一般項と和の公式

等差数列の一般項と和の公式

こんにちは、ゆうやです。
 
今回は等差数列に関する悩みを解決していきます。

  • 等差数列ってなに?
  • 等差数列は分かるけど式にできない
  • 等差数列の和の公式を忘れた

 

等差数列はキホンとなる数列なので、正しく理解しておかないと大変なことになります。

今回は等差数列の一般項の表し方と和の公式を確認していきます。

一緒に等差数列をマスターしましょう!

 

記事の内容
・等差数列とは?
・等差数列の一般項
・等差数列の和の公式
・等差数列《練習問題》

 

ライター紹介国公立教育大学を卒業
数学講師歴5年
担当した生徒の数は100人以上
高校数学を網羅するサイト作成中

等差数列とは?

等差数列とは、「初めの項に一定の数を足していく数列」を指します。

等差数列

数列の初めの項を初項、最後の項を末項といいます。

また、等差数列において隣り合う2つの項の差を公差といいます。

以下のような数列があるとします。

等差数列とは?

この数列は初項5、末項40、公差7、項数6の等差数列といいます。

等差数列とは?

等差数列を一般項で表す

等差数列の一般項初項\(a_{1}\)、公差\(d\)の等差数列\(\{a_{n}\}\)とすると、

 \(a_{n}=a_{1} + (n-1)d\)

一般項とは、数列の第\(n\)項を式で表したものです。

等差数列は初項に公差を加え続けていく数列です。

\(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} ... a_{n}\)
 
等差数列の第\(n\)項を\(a_{n}\)とすると、
 
\(a_{1}=a_{1}\)←初項

\(a_{2}=a_{1} + d\)

\(a_{3}=a_{1} + 2d\)
.
.
.
\(a_{n}=a_{1} + (n-1)d\)

したがって、等差数列の一般項は

\(a_{n}=a_{1} + (n-1)d\)となります。

等差数列の和の公式

等差数列の和の公式

等差数列の項の和を求める問題もよく出題されます。

等差数列の和は公式があるので、確実に覚えておきたいです。

等差数列の和\(\displaystyle S_{n}= \frac{n}{2}(a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} \{2 a_{1}+(n-1)d\}\)

実際に等差数列の和を2つのやり方で求めてみます。

等差数列の和の公式①

このような等差数列があったとしましょう。

等差数列の和

この数列は初項5、末項40、項数6の等差数列です。

よって初項から第6項までの和は

\(\displaystyle S_{6}=\frac{6}{2}(5+40)\)

\(\displaystyle =3 \times{45}\)

\(=135\)

初項、末項、項数が分かる場合はこの求め方で和を求めましょう。

等差数列の和の公式②

同じ等差数列の和をもう1つの求め方で求めましょう。

等差数列の和の公式

この数列を初項5、公差7、項数6の等差数列と見て

\(\displaystyle S_{6}=\frac{6}{2}\{2 \times{5}+(6-1)\times{7}\}\)

\(\displaystyle =3(10 + 35)\)

\(=135\)

末項が分かっているか、もしくは公差が分かっているかで求め方が変えると良いでしょう。

等差数列《練習問題》

等差数列の練習問題に挑戦してみましょう!

分からない場合は上に戻って復習してから再挑戦!

等差数列次の数列の一般項と第\(n\)項までの和を求めよ。
 3 7 11 15 19 23 ...

解答

この数列は初項3、公差4の等差数列です。

第\(n\)項は初項に公差4を(n-1)回たしたものなので、

\(a_{n}=3+4(n-1)=4n-1\)

よって、一般項\(a_{n}=4n-1\)となります。

次に第\(n\)項までの和を求めます。

等差数列の和の公式

\(\displaystyle S_{n}=\frac{n}{2} \{2 a_{1}+(n-1)d\}\)

に数字を代入して、

\(\displaystyle S_{n}=\frac{n}{2} \{2 \times{3} +(n-1) \times{4} \}\)

\(=n\{3 + 2(n-1)\}\)

\(=2n^{2}+n\)

したがって

解答  \(a_{n}=4n-1\)

  \(S_{n}=2n^{2}+n\)

等差数列 まとめ

今回は等差数列について詳しく解説しました。

等差数列とは?
  初めの項に一定の数を足していく数列

等差数列の一般項
  \(a_{n}=a_{1} + (n-1)d\)

等差数列の和の公式
  \(\displaystyle S_{n}=\frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})=\frac{n}{2}\{2 a_{1} +(n-1)d\}\)

 

他にも教科書に内容に沿った解説記事を載せています。

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最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

 
みんなの努力が報われますように!

 

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