こんにちは、ゆうやです。
今回は等差数列に関する悩みを解決していきます。
- 等差数列ってなに？
- 等差数列は分かるけど式にできない
- 等差数列の和の公式を忘れた
等差数列はキホンとなる数列なので、正しく理解しておかないと大変なことになります。
今回は等差数列の一般項の表し方と和の公式を確認していきます。
・等差数列とは？
・等差数列の一般項
・等差数列の和の公式
・等差数列《練習問題》
数学講師歴5年
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等差数列とは？
等差数列とは、「初めの項に一定の数を足していく数列」を指します。
数列の初めの項を初項、最後の項を末項といいます。
また、等差数列において隣り合う２つの項の差を公差といいます。
以下のような数列があるとします。
この数列は初項5、末項40、公差7、項数6の等差数列といいます。
等差数列を一般項で表す
\(a_{n}=a_{1} + (n-1)d\)
一般項とは、数列の第\(n\)項を式で表したものです。
等差数列は初項に公差を加え続けていく数列です。
\(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} ... a_{n}\)
等差数列の第\(n\)項を\(a_{n}\)とすると、
\(a_{1}=a_{1}\)←初項
\(a_{2}=a_{1} + d\)
\(a_{3}=a_{1} + 2d\)
.
.
.
\(a_{n}=a_{1} + (n-1)d\)
したがって、等差数列の一般項は
\(a_{n}=a_{1} + (n-1)d\)となります。
等差数列の和の公式
等差数列の項の和を求める問題もよく出題されます。
等差数列の和は公式があるので、確実に覚えておきたいです。
実際に等差数列の和を2つのやり方で求めてみます。
等差数列の和の公式①
このような等差数列があったとしましょう。
この数列は初項5、末項40、項数6の等差数列です。
よって初項から第6項までの和は
\(\displaystyle S_{6}=\frac{6}{2}(5+40)\)
\(\displaystyle =3 \times{45}\)
\(=135\)
初項、末項、項数が分かる場合はこの求め方で和を求めましょう。
等差数列の和の公式②
同じ等差数列の和をもう1つの求め方で求めましょう。
この数列を初項5、公差7、項数6の等差数列と見て
\(\displaystyle S_{6}=\frac{6}{2}\{2 \times{5}+(6-1)\times{7}\}\)
\(\displaystyle =3(10 + 35)\)
\(=135\)
末項が分かっているか、もしくは公差が分かっているかで求め方が変えると良いでしょう。
等差数列《練習問題》
等差数列の練習問題に挑戦してみましょう！
分からない場合は上に戻って復習してから再挑戦！
3 7 11 15 19 23 ...
解答
この数列は初項3、公差4の等差数列です。
第\(n\)項は初項に公差4を(n-1)回たしたものなので、
\(a_{n}=3+4(n-1)=4n-1\)
よって、一般項\(a_{n}=4n-1\)となります。
次に第\(n\)項までの和を求めます。
等差数列の和の公式
\(\displaystyle S_{n}=\frac{n}{2} \{2 a_{1}+(n-1)d\}\)
に数字を代入して、
\(\displaystyle S_{n}=\frac{n}{2} \{2 \times{3} +(n-1) \times{4} \}\)
\(=n\{3 + 2(n-1)\}\)
\(=2n^{2}+n\)
したがって
\(S_{n}=2n^{2}+n\)
等差数列 まとめ
今回は等差数列について詳しく解説しました。
初めの項に一定の数を足していく数列
等差数列の一般項
\(a_{n}=a_{1} + (n-1)d\)
等差数列の和の公式
\(\displaystyle S_{n}=\frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})=\frac{n}{2}\{2 a_{1} +(n-1)d\}\)
他にも教科書に内容に沿った解説記事を載せています。
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最後まで読んでいただき、ありがとうございました。
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