等比数列の公式まとめ!一般項と和の公式を分かりやすく解説!

等比数列の公式まとめ!一般項と和の公式を分かりやすく解説!

「等比数列ってなに?」
「等比数列の一般項って?」
「和の公式を忘れてしまった」
今回は等比数列に関する悩みを解決していきます。

高校生
等比数列は分かるけど、和の公式がよく分からなくて..

等比数列とは、「一定の比で変化する数列」を指します。

等比数列

等比数列は数列のなかでも基本となる数列です。

一般項や和を求める問題が多く出題されるので、しっかり理解していないと数列の単元は苦戦するでしょう。

 

本記事では等差数列の一般項と和の公式について解説します。

数列が苦手な方や、これから数列を学習する方の参考になるので、ぜひ最後までご覧ください。

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等比数列とは?

等比数列とは、「一定の比で変化する数列」を指します。

等比数列

数列の初めの項を初項、最後の項を末項といいます。

また、等差数列において隣り合う2つの項の比を公比といいます。

等比数列とは?

以下のような数列があるとします。

等比数列とは?

この数列は「初項2、末項486、公比3、項数6の等差数列」といいます。

等比数列とは?

等比数列

等比数列 ⇒ 一定の比で変化する数列

公比:隣り合う項の比

初項:最初の項

末項:最後の項

等比数列を一般項で表す

等比数列の一般項の公式

一般項とは、数列の第\(n\)項\(a_{n}\)を\(n\)を用いて表したものです。

等比数列の一般項は以下の式で表します。

等比数列の一般項

初項\(a_{1}\)、公比\(r\)の等比数列\(\{a_{n}\}\)とすると、

\(a_{n}=a_{1} \cdot r^{n-1}\)

高校生
初項に公比を掛けてる式だよね?
そうそう!項が進むにつれて\(r\)の数が増えていくよ!
シータ

等比数列の一般項の証明

等比数列は初項に対して公比を掛けていく数列です。

数列\(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} ... a_{n}\)が等比数列だとします。

この等比数列の公比を\(r\)だとすると、

\(a_{1}=a_{1}\)←初項

\(a_{2}=a_{1} \times r\)

\(a_{3}=a_{1} \times r^{2}\)

\(a_{4}=a_{1} \times r^{3}\)

このように初項に公差を加えていくので、

\(a_{1}=a_{1}\)

\(a_{2}=a_{1} \times r\)

\(a_{3}=a_{1} \times r^{2}\)

\(a_{n}=a_{1} \times r^{n-1}\)

したがって、等比数列の一般項は\(a_{n}=a_{1} \cdot r^{n-1}\)となります。

シータ
具体的な数字を使って一般項を考えてみよう!

等比数列の一般項を求める

等比数列の一般項を求める例を見てみましょう。

ここに等比数列があります。

2 , 6 , 18 , 54 , 162 …

この数列は「初項2、公比3の等比数列」です。

ここで等比数列の一般項の公式を思い出してみましょう。

等比数列の一般項

初項\(a_{1}\)、公比\(d\)の等比数列を\(\{a_{n}\}\)とすると、

\(a_{n}=a_{1} \cdot  r^{n-1}\)

この数列は初項2、公比3の数列なので、

\begin{eqnarray}
a_{n}&=&a_{1} \times r^{n-1}\\
&=&2 \times 3^{n-1}\\
&=&2 \cdot 3^{n-1}
\end{eqnarray}

したがって、等比数列{2 , 6 , 18 , 54 , 162  …}の一般項は\(a_{n}=2 \cdot 3^{n-1}\)

シータ
求めた一般項が合っているか心配なときは、実際に代入して確かめてみよう!

求めた一般項が不安なときは具体的な数字を代入して確かめます。

初項が2なので、一般項に\(n=1\)を代入して2になれば大丈夫です。

\begin{eqnarray}
a_{1}&=&2 \times 3^{1-1}\\
&=&2 \times 1\\
&=&2
\end{eqnarray}

\(n=1\)のとき初項と同じ値になったので間違いなさそうです。

等比数列の和

等比数列の和の公式

数列の項を足すことを数列の和といいます。

等比数列{3 , 6 , 12 , 24}の初項から第4項までの和は26となります。

3+6+12+24=45

このように等比数列の和を求める問題はよく出題されます。

等比数列の和の公式は公比の値によって変わります。複雑ですが確実に覚えておきたい公式です。

等比数列の和

初項\(a\)、公差\(d\)、項数\(n\)の等比数列の和を\(S_{n}\)とすると、

[1]\(r < 1\)のとき

\[\displaystyle S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\]

[2]\(r > 1\)のとき

\[\displaystyle S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}\]

[3]\(r=1\)のとき

\[S_{n}=na\]

実際に等比数列の和を2つのやり方で求めてみます。

等比数列の和の公式①

このような等比数列があったとしましょう。

等比数列の和の公式①

この数列は「初項5、公比3、項数6の等比数列」です。

公比が3で1より大きいのでこの公式を使います。

\[\displaystyle S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}\]

初項5、公比3、項数6の等比数列の和は

\begin{eqnarray}
\displaystyle S_{6}&=&\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}\\
&=&\frac{5(3^{6}-1)}{3-1}\\
&=&\frac{5(729-1)}{2}
&=&1820
\end{eqnarray}

したがって、等比数列の和を求めることができました。

等比数列の和の公式

公比\(r\)が1より大きい場合はこの公式で求める。

\[\displaystyle S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}\]

等比数列の和の公式②

公比が1の場合の等比数列の和を求めましょう。

等比数列の和の公式②

\(r = 1\)の場合は同じ数字が並び続ける数列です。

この数列の和は(初項)×(項数)で求めることができます。

したがって、\(r=1\)のときはこの公式を使いましょう。

\[\displaystyle S_{n}=na\]

今回は初項5、項数6の等比数列なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle S_{6}&=&5 \times 6\\
&=&30
\end{eqnarray}

等比数列の和の公式

公比\(r\)が1の場合はこの公式で求める。

\[\displaystyle S_{n}=na\]

高校生
公比の値が分かれば、あとは代入するだけなんだね!

等比数列のΣ

そもそもΣ(シグマ)とは

Σ(シグマ)とは数学の記号の1つです。

数列\(a_{n}\)の初項から第\(n\)項まで足すことを記号Σ(シグマ)を用いて、以下のように表します。

\[\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}\]

\(\sum_{k=1}^{n}\)の見た目が難しそうなので身構えてしまいますが、シグマの意味は「k=1からnまで代入したものを足す」というだけです。

シグマΣの公式や計算については「Σシグマの計算公式と証明!数列の和が一瞬で解ける!」で解説しています。

等比数列のΣ

以下のようなΣの計算は、等比数列の和として考えることができます。

等比数列のΣ

\[\sum_{k=1}^{n} r^{k}=\displaystyle \frac{r(r^{n}-1)}{r-1}= \frac{r(1-r^{n})}{1-r}\]

なぜこのΣの計算が等比数列の和になるのかを解説します。

 

まず左辺のΣを計算してみると、

\[\sum_{k=1}^{n} r^{k}=r+r^{2}+r^{3}+ \cdots + r^{n}\]

となります。

これは「初項r、公比r、項数nの等比数列の和」と同じ形をしていますね。

そこで右辺は等比数列の和の公式で表すことができるので、

\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{n} r^{k}&=&r+r^{2}+r^{3}+ \cdots + r^{n}\\
\displaystyle &=&\frac{r(r^{n}-1)}{r-1}
\end{eqnarray}

これで等比数列のΣを和で表すことができるのです。

等比数列のΣの計算

では、1問だけΣの計算をしてみましょう。

等比数列のΣ

次の値を求めてみよう。

\[\sum_{k=1}^{6} 3^{k}\]

これが意味するのは、\(\{3+9+27+\cdots+729\}\)なので、「初項3、末項729、項数6の等比数列の和」として考えると、

\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{6} 3^{k}&=&3+9+27+ \cdots + 729\\
\displaystyle &=&\frac{3(3^{6}-1)}{3-1}\\
\displaystyle &=&\frac{3(729-1)}{2}\\
&=&1092
\end{eqnarray}

Σの計算公式を知らないと、和\(S_{n}\)や群数列で苦戦することになります。

等比数列の漸化式

等比数列の漸化式は以下のような形で表します。

等比数列の漸化式

数列における第\(n\)項を\(a_{n}\)、公比を\(r\)とすると、

\(a_{n+1}=ra_{n}\)

漸化式とは、数列の第\(n\)項\(a_{n}\)を用いて次の項である\(a_{n+1}\)を表した式です。

等比数列の漸化式は、\(a_{n}\)に公比\(r\)を掛けることで\(a_{n+1}\)になることを表しています。

実際に数字を入れて考えてみましょう。

等比数列2

ここに初項2、公比3の等比数列があります。

この数列は初項に対して、3倍ずつ変化していくので

\(a_{1}=2\)

\(a_{2}=3 \cdot a_{1}\)

\(a_{3}=3 \cdot a_{2}\)

\(a_{4}=3 \dot a_{3}\)

という関係が成り立ちます。

このように\(a_{n+1}\)の項を表すときは、\(a_{n}\)を3倍すれば良いので、

\[a_{n+1}=3a_{n}\]

したがって、等比数列の漸化式は以下の形で表される。

等比数列の漸化式

数列における第\(n\)項を\(a_{n}\)、公比を\(r\)とすると、

\[a_{n+1}=ra_{n}\]

等比数列の性質

等比数列の性質の1つに”等比中項”というものがあります。

等比中項

数列\(a,b,c\)が等比数列のとき、

\[b^{2}=ac\]

これは等差数列の項3つ用意したときに、両端の項の積が中央の項の2乗になることを意味します。

 

証明は非常に簡単です。\(a,b,c\)は等比数列なので

\[\displaystyle \frac{b}{a}=\frac{c}{b}\]

両辺にabを掛けて、

\[b^{2}=ac\]

となります。

その他の数列

今回は等比数列について解説しています。

数列には等比数列以外にも以下の数列があります。

  • 等差数列
  • 階差数列

・等差数列

等差数列とは、「一定の差で変化する数列」を指します。

等差数列

等差数列については、「等差数列の公式まとめ!一般項と和の公式を分かりやすく解説!」で詳しく解説しています。

・階差数列

階差数列は複雑で、各項の差を書き出してみるとある数列が見えてきます。

階差数列

上の数列の場合、各項の差が等差数列になっています。

この差が等比数列になる場合もありますし、もっと複雑な数列になるときもあります。

階差数列については、「階差数列を用いた一般項と和を求める公式!初項に階差を足していくだけ」で解説しています。

等比数列《練習問題》

等比数列の一般項や和の求め方を確認しました。

実際に数字を使って、一般項や和を求めてみましょう。

練習問題1

次の数列の一般項を求めよう。

2, 10 , 50 , 250 , 1250 …

+ 解答

与えられた数列は「初項2、公比5の等比数列」です。

したがって、求める一般項は

\[a_{n}=2 \cdot 5^{n-1}\]

一般項の求め方を忘れた方

練習問題2

次の数列の初項から第\(n\)項までの和を求めよう。

3 , 6 , 12 , 24 , 48 …

+ 解答

これは「初項3、公比2、項数nの等比数列の和」です。

等比数列の和の公式に代入すると

\begin{eqnarray}
\displaystyle S_{n}&=&\frac{a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}\\
&=&\frac{3(2^{n}-1)}{2-1}\\
&=&3 \cdot 2^{n} -3
\end{eqnarray}

したがって、今回求める和は

\[S_{n}=3 \cdot 2^{n} -3\]

等比数列の和の公式を忘れた方

等比数列 まとめ

今回は等比数列について詳しく解説しました。

等比数列 まとめ

等比数列とは
⇒一定の比で変化する数列

等比数列の一般項

初項\(a_{1}\)、公比\(r\)の等比数列\(\{a_{n}\}\)とすると、

\(a_{n}=a_{1} \cdot r^{n-1}\)

等比数列の和の公式

初項\(a\)、公差\(d\)、項数\(n\)の等比数列の和を\(S_{n}\)とすると、

[1]\(r < 1\)のとき

\[\displaystyle S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\]

[2]\(r > 1\)のとき

\[\displaystyle S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}\]

[3]\(r=1\)のとき

\[S_{n}=na\]

本記事では等比数列をメインに解説しましたが、等差数列や階差数列も重要な数列です。

この3つの数列は確実に押さえておかないと、漸化式や群数列を学習するときに苦戦するでしょう。

 

それぞれの数列については別の記事で解説しています。

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