こんにちは、ゆうやです。
今回は等比数列に関する悩みを解決していきます。
- 等比数列ってなに？
- 等比数列は分かるけど式にできない
- 等比数列の和の公式を忘れた
等比数列はキホンの数列なのでしっかり理解しておきましょう。
今回は等比数列の一般項の表し方と和の公式を確認していきます。
・等比数列とは？
・等比数列の一般項
・等比数列の和の公式
・等比数列《練習問題》
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等比数列とは？
等比数列とは、「初めの項に一定の数をかけ続けていく数列」を指します。
数列の初めの項を初項、最後の項を末項といいます。
また、等差数列において隣り合う２つの項の比を公比といいます。
以下のような数列があるとします。
この数列は初項2、末項486、公比3、項数6の等差数列といいます。
等比数列を一般項で表す
\(a_{n}=a_{1} \times{r^{n-1}}\)
一般項とは、数列の第\(n\)項を式で表したものです。
等比数列は初項に公比をかけ続けていく数列です。
\(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} ... a_{n}\)
等差数列の第\(n\)項を\(a_{n}\)とすると、
\(a_{1}=a_{1}\)←初項
\(a_{2}=a_{1} \times{r} \)
\(a_{3}=a_{1} \times{r^{2}}\)
.
.
.
\(a_{n}=a_{1} \times{r^{n-1}}\)
したがって、等差数列の一般項は
\(a_{n}=a_{1} \times{r^{n-1}}\)となります。
等比数列の和の公式
等比数列の項の和を求める問題もよく出題されます。
等比数列の和は公式は少し複雑ですが、確実に覚えておきたいです。
(1) \(r \neq 1\)のとき
$$
\displaystyle S_{n}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}
$$
(2) \(r=1\)のとき
$$
S_{n}=n a
$$
実際に等比数列の和を求めてみましょう。
等差数列の和の公式①
このような等比数列があったとしましょう。
この数列は初項5、公比3、項数6の等比数列です。
公比が3で1より大きいので
\(\displaystyle S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}\)
こちらの公式に数字を代入していきます。
\(\displaystyle S_{6}=\frac{5(3^{6}-1)}{3-1}\)
これを計算して初項から第6項までの和は、
\(\displaystyle S_{6}=\frac{5\times{728}}{2}\)
\(\displaystyle =5\times{364}\)
\(\displaystyle =1820\)
公比\(r \neq 1\)の場合はこの求め方で和を求めましょう。
等比数列の和の公式②
\(r = 1\)の場合
\(r = 1\)の場合は同じ数字が並び続ける数列です。
したがって、この数列の和は（初項）×（項数）である。
\(\displaystyle S_{6}=5 \times{6}\)
\(=30\)
等比数列《練習問題》
等比数列の練習問題に挑戦してみましょう！
3 6 12 24 48 ...
解答
この数列は初項3、公比2の等差数列です。
第\(n\)項は初項に公比2を(n-1)回かけたものなので、
\(a_{n}=3 \times{2^{n-1}}\)
次に第\(n\)項までの和を求めます。
等比数列の和の公式
\(\displaystyle S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}\)
こちらの公式に数字を代入していきます。
\(\displaystyle S_{n}=\frac{3(2^{n}-1)}{2-1}\)
これを計算して初項から第6項までの和は、
\(S_{n}=3(2^{n}-1)\)
したがって
\(S_{n}=3(2^{n}-1)\)
等比数列 まとめ
今回は等比数列について詳しく解説しました。
初めの項に一定の数をかけ続けていく数列
等比数列の一般項
\(a_{n}=a_{1} \times{r^{n-1}}\)
等比数列の和の公式
初項\(a\)、公比\(r\)、項数\(n\)の等比数列の和を\(S_{n}\)とする。
(1) \(r \neq 1\)のとき
$$
\displaystyle S_{n}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}
$$
(2) \(r=1\)のとき
$$
S_{n}=n a
$$
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