数学ⅡB

等比数列の一般項と和の公式

等比数列の一般項と和の公式

こんにちは、ゆうやです。
 
今回は等比数列に関する悩みを解決していきます。

  • 等比数列ってなに?
  • 等比数列は分かるけど式にできない
  • 等比数列の和の公式を忘れた

 

等比数列はキホンの数列なのでしっかり理解しておきましょう。

今回は等比数列の一般項の表し方と和の公式を確認していきます。

等比数列をマスターしましょう!

 

記事の内容
・等比数列とは?
・等比数列の一般項
・等比数列の和の公式
・等比数列《練習問題》

 

ライター紹介国公立教育大学を卒業
数学講師歴5年
担当した生徒の数は100人以上
高校数学を網羅するサイト作成中

等比数列とは?

等比数列とは、「初めの項に一定の数をかけ続けていく数列」を指します。

等比数列

数列の初めの項を初項、最後の項を末項といいます。

また、等差数列において隣り合う2つの項の比を公比といいます。

等比数列とは?

以下のような数列があるとします。

等比数列とは?

この数列は初項2、末項486、公比3、項数6の等差数列といいます。

等比数列とは?

等比数列を一般項で表す

等差数列の一般項初項\(a_{1}\)、公比\(r\)の等比数列\(\{a_{n}\}\)とすると、

 \(a_{n}=a_{1} \times{r^{n-1}}\)

一般項とは、数列の第\(n\)項を式で表したものです。

等比数列は初項に公比をかけ続けていく数列です。

\(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} ... a_{n}\)
 
等差数列の第\(n\)項を\(a_{n}\)とすると、
 
\(a_{1}=a_{1}\)←初項

\(a_{2}=a_{1} \times{r} \)

\(a_{3}=a_{1} \times{r^{2}}\)
.
.
.
\(a_{n}=a_{1} \times{r^{n-1}}\)

したがって、等差数列の一般項は

\(a_{n}=a_{1} \times{r^{n-1}}\)となります。

等比数列の和の公式

等比数列の和の公式

等比数列の項の和を求める問題もよく出題されます。

等比数列の和は公式は少し複雑ですが、確実に覚えておきたいです。

等比数列の和初項\(a\)、公比\(r\)、項数\(n\)の等比数列の和を\(S_{n}\)とする。
(1) \(r \neq 1\)のとき
$$
\displaystyle S_{n}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}
$$
(2) \(r=1\)のとき
$$
S_{n}=n a
$$

実際に等比数列の和を求めてみましょう。

等差数列の和の公式①

このような等比数列があったとしましょう。

等比数列の和の公式①

この数列は初項5、公比3、項数6の等比数列です。

公比が3で1より大きいので

\(\displaystyle S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}\)

こちらの公式に数字を代入していきます。

\(\displaystyle S_{6}=\frac{5(3^{6}-1)}{3-1}\)

これを計算して初項から第6項までの和は、

\(\displaystyle S_{6}=\frac{5\times{728}}{2}\)

\(\displaystyle =5\times{364}\)

\(\displaystyle =1820\)

公比\(r \neq 1\)の場合はこの求め方で和を求めましょう。

等比数列の和の公式②

\(r = 1\)の場合

等比数列の和の公式②

\(r = 1\)の場合は同じ数字が並び続ける数列です。

したがって、この数列の和は(初項)×(項数)である。

\(\displaystyle S_{6}=5 \times{6}\)

\(=30\)

等比数列《練習問題》

等比数列《練習問題》

等比数列の練習問題に挑戦してみましょう!

等比数列次の数列の一般項と第\(n\)項までの和を求めよ。
 3 6 12 24 48 ...

解答

この数列は初項3、公比2の等差数列です。

第\(n\)項は初項に公比2を(n-1)回かけたものなので、

\(a_{n}=3 \times{2^{n-1}}\)

次に第\(n\)項までの和を求めます。

等比数列の和の公式

\(\displaystyle S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}\)

こちらの公式に数字を代入していきます。

\(\displaystyle S_{n}=\frac{3(2^{n}-1)}{2-1}\)

これを計算して初項から第6項までの和は、

\(S_{n}=3(2^{n}-1)\)

したがって

解答  \(a_{n}=3 \times{2^{n-1}}\)

  \(S_{n}=3(2^{n}-1)\)

等比数列 まとめ

今回は等比数列について詳しく解説しました。

等比数列とは?
  初めの項に一定の数をかけ続けていく数列

等比数列の一般項
  \(a_{n}=a_{1} \times{r^{n-1}}\)

等比数列の和の公式
  初項\(a\)、公比\(r\)、項数\(n\)の等比数列の和を\(S_{n}\)とする。
  (1) \(r \neq 1\)のとき
$$
\displaystyle S_{n}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}
$$
  (2) \(r=1\)のとき
$$
S_{n}=n a
$$

 

他にも教科書に内容に沿った解説記事を載せています。

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最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

 
みんなの努力が報われますように!

 

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