数学Bの数列は公式が多いため、苦手意識を持っている高校生も多いですよね。
今回解決する悩み
「数列が苦手」
「数列の総復習をしたい」
今回は数列に関するこんな悩みを解決します。
数列において特に重要なものは以下の4つです。
本記事では数列の公式や解き方などを徹底解説しています。
数列の総復習ができるようになっているので、ぜひ最後までご覧ください。
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ぜひ最後までご覧ください。
数列とは？
以下のように数字を並べたものを「数列」といいます。
実は、この数列はランダムに並べたわけではなく、並び方にある法則があるのです。
下の図から分かるように、右に進むたびに3ずつ数字が大きくなっています。
上の数列のように、同じ差で変化していく数列を等差数列といいます。
一方で、下の数列のように同じ比を掛けていく数列を等比数列といいます。
数列の基本用語
数列のなかの数字１つ１つを項といいます。
数列の最初の項を初項と呼び、最後の項を末項と呼びます。
数列の項
最初の項 ⇒ 初項（しょこう）
最後の項 ⇒ 末項（まっこう）
等差数列の公式
等差数列とは、「一定の差で変化する数列」を指します。
等差数列において隣接する項の差を公差といいます。
例として、以下のような数列があるとしましょう。
この数列は「初項5、末項40、公差7、項数6の等差数列」といいます。
等差数列
等差数列 ⇒ 一定の差で変化する数列
公差：隣りあう項の差
等差数列の一般項の公式
等差数列の一般項は以下の公式で表します。
等差数列の一般項
初項\(a_{1}\)、公差\(d\)の等差数列を\(\{a_{n}\}\)とすると、
\[a_{n}=a_{1} + (n-1)d\]
参考
一般項とは、数列の第\(n\)項\(a_{n}\)を\(n\)を用いて表したものです。
等差数列の一般項の証明
等差数列は初項に公差を加えていく数列です。
数列\(\{a_{n}\}\)が等差数列だとします。
この等差数列の公差を\(d\)とすると、
\(a_{1}=a_{1}\)←初項
\(a_{2}=a_{1} + d\)
\(a_{3}=a_{1} + 2d\)
\(a_{4}=a_{1} + 3d\)
このように初項に公差を加えていくので、
\(a_{1}=a_{1}\)
\(a_{2}=a_{1} + d\)
\(a_{3}=a_{1} + 2d\)
：
\(a_{n}=a_{1} + (n-1)d\)
したがって、等差数列の一般項は\(a_{n}=a_{1} + (n-1)d\)となります。
等差数列の一般項を求める
ここに等差数列があります。
2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 ,20 …
この数列は「初項2、公差3の等差数列」です。
ここで等差数列の一般項の公式を思い出しましょう。
等差数列の一般項
初項\(a_{1}\)、公差\(d\)の等差数列を\(\{a_{n}\}\)とすると、
\[a_{n}=a_{1} + (n-1)d\]
この数列は\(a_{1}=2、d=3\)の等差数列なので求める一般項は、
\begin{eqnarray}
a_{n}&=&a_{1}+(n-1)d\\
&=&2+(n-1)3\\
&=&3n-1
\end{eqnarray}
したがって、等差数列｛2 , 5 , 8 , 11 , 14 …｝の一般項は\(a_{n}=3n-1\)
一般項が不安なときは具体的な数字を代入して確かめます。
初項が2なので、一般項に\(n=1\)を代入して2になれば大丈夫そうです。
\begin{eqnarray}
a_{1}&=&3 \times 1-1\\
&=&2
\end{eqnarray}
初項と同じ値になったので問題なさそうですね。
等差数列の和の公式
数列の項を足すことを数列の和といいます。
等差数列{3 , 5 , 7 , 9}の初項から第4項までの和は24となります。
3+5+7+9=24
このように等差数列の和を求める問題はよく出題されます。
等差数列の和を求める公式が2つあります。これは確実に覚えておきたい公式です。
等差数列の和
初項\(a\)、公差\(d\)、末項\(l\)、項数\(n\)の等差数列の和を\(S_{n}\)とすると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle S_{n}&=&\frac{n}{2}(a+l)\\
\displaystyle &=&\frac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}
\end{eqnarray}
実際に等差数列の和を2つのやり方で求めてみます。
等差数列の和の公式①
このような等差数列があったとしましょう。
これは初項5、末項40、項数6の等差数列です。
初項と末項が分かっているときはこっちの和の公式を使いましょう。
等差数列の和
初項\(a\)、末項\(l\)、項数\(n\)の等差数列の和を\(S_{n}\)とすると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle S_{n}&=&\frac{n}{2}(a+l)\\
\end{eqnarray}
この数列の初項から第6項までの和は
\begin{eqnarray}
\displaystyle S_{6}&=&\frac{6}{2}(5+40)\\
&=&3 \times 45\\
&=&135
\end{eqnarray}
したがって、等差数列の和を求めることができました。
等差数列の和の公式
初項、末項、項数が分かる場合はこの公式で求める。
\begin{eqnarray}
\displaystyle S_{n}&=&\frac{n}{2}(a+l)
\end{eqnarray}
等差数列の和の公式②
同じ等差数列の和をもう1つの求め方で求めましょう。
この数列は初項5、公差7、項数6の等差数列です。
初項、公差、項数が分かっているときはこの公式を使います。
等差数列の和
初項\(a\)、公差\(d\)、項数\(n\)の等差数列の和を\(S_{n}\)とすると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle S_{n}&=&\frac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}
\end{eqnarray}
この数列の初項から第6項までの和は
\begin{eqnarray}
\displaystyle S_{6}&=&\frac{6}{2}(2 \times 5+(6-1)7)\\
&=&3 (10 + 35)\\
&=&3 \times 45\\
&=&135
\end{eqnarray}
したがって、等差数列の和を求めることができました。
等差数列の和の公式
初項、公差、項数が分かる場合はこの公式で求める。
\begin{eqnarray}
\displaystyle S_{n}&=&\frac{n}{2}\{2a+(n-1)d\}
\end{eqnarray}
等差数列の性質《等差中項》
等差数列には”等差中項”という性質があります。
等差中項
数列\(a,b,c\)が等差数列のとき、
\[2b=a+c\]
これは等差数列の項3つ用意したときに、両端の項の和が中央の項の2倍になることを意味します。
ここまで等差数列についてまとめましたが、詳しくはこちらの記事で解説しています。
-
等差数列の公式まとめ！一般項と和の公式を分かりやすく解説！
続きを見る
等比数列の公式
等比数列とは、「一定の比で変化する数列」を指します。
等差数列において隣り合う２つの項の比を公比といいます。
以下のような数列があるとします。
この数列は「初項2、末項486、公比3、項数6の等差数列」といいます。
等比数列
等比数列 ⇒ 一定の比で変化する数列
公比：隣り合う項の比
等比数列の一般項の公式
等比数列の一般項は以下の式で表します。
等比数列の一般項
初項\(a_{1}\)、公比\(r\)の等比数列\(\{a_{n}\}\)とすると、
\[a_{n}=a_{1} \cdot r^{n-1}\]
等比数列の一般項の証明
等比数列は初項に対して公比を掛けていく数列です。
数列\(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} ... a_{n}\)が等比数列だとします。
この等比数列の公比を\(r\)だとすると、
\(a_{1}=a_{1}\)←初項
\(a_{2}=a_{1} \times r\)
\(a_{3}=a_{1} \times r^{2}\)
\(a_{4}=a_{1} \times r^{3}\)
このように初項に公差を加えていくので、
\(a_{1}=a_{1}\)
\(a_{2}=a_{1} \times r\)
\(a_{3}=a_{1} \times r^{2}\)
：
\(a_{n}=a_{1} \times r^{n-1}\)
したがって、等比数列の一般項は\(a_{n}=a_{1} \cdot r^{n-1}\)となります。
等比数列の一般項を求める
等比数列の一般項を求める例を見てみましょう。
ここに等比数列があります。
3 , 6 , 12 , 24 , 48 …
この数列は「初項3、公比2の等比数列」です。
ここで等比数列の一般項の公式を思い出してみましょう。
等比数列の一般項
初項\(a_{1}\)、公比\(d\)の等比数列を\(\{a_{n}\}\)とすると、
\[a_{n}=a_{1} \cdot r^{n-1}\]
この数列は初項3、公比2の数列なので、
\begin{eqnarray}
a_{n}&=&a_{1} \times r^{n-1}\\
&=&3 \times 2^{n-1}\\
&=&3 \cdot 2^{n-1}
\end{eqnarray}
したがって、等比数列｛3 , 6 , 12 , 24 , 48 …｝の一般項は\(a_{n}=3 \cdot 2^{n-1}\)
求めた一般項が不安なときは具体的な数字を代入して確かめます。
\begin{eqnarray}
a_{1}&=&3 \times 2^{1-1}\\
&=&3 \times 1\\
&=&3
\end{eqnarray}
\(n=1\)のとき初項と同じく3になったので間違いなさそうです。
等比数列の和の公式
数列の項を足すことを数列の和といいます。
等比数列{3 , 6 , 12 , 24}の初項から第4項までの和は26となります。
3+6+12+24=45
このように等比数列の和を求める問題はよく出題されます。
等比数列の和の公式は公比の値によって変わります。
複雑ですが等差数列の和の公式と合わせて確実に覚えておきたい公式です。
等比数列の和
初項\(a\)、公差\(d\)、項数\(n\)の等比数列の和を\(S_{n}\)とすると、
[1]\(r < 1\)のとき
\[\displaystyle S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\]
[2]\(r > 1\)のとき
\[\displaystyle S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}\]
[3]\(r=1\)のとき
\[S_{n}=na\]
実際に等比数列の和を2つのやり方で求めてみます。
等比数列の和の公式①
このような等比数列があったとしましょう。
この数列は「初項5、公比3、項数6の等比数列」です。
公比が3で1より大きいのでこの公式を使います。
\[\displaystyle S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}\]
初項5、公比3、項数6の等比数列の和は
\begin{eqnarray}
\displaystyle S_{6}&=&\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}\\
&=&\frac{5(3^{6}-1)}{3-1}\\
&=&\frac{5(729-1)}{2}
&=&1820
\end{eqnarray}
したがって、等比数列の和を求めることができました。
等比数列の和の公式
公比\(r\)が1より大きい場合はこの公式で求める。
\[\displaystyle S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}\]
等比数列の和の公式②
公比が1の場合の等比数列の和を求めましょう。
\(r = 1\)の場合は同じ数字が並び続ける数列です。
この数列の和は（初項）×（項数）で求めることができます。
したがって、\(r=1\)のときはこの公式を使いましょう。
\[\displaystyle S_{n}=na\]
今回は初項5、項数6の等比数列なので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle S_{6}&=&5 \times 6\\
&=&30
\end{eqnarray}
等比数列の和の公式
公比\(r\)が1の場合はこの公式で求める。
\[\displaystyle S_{n}=na\]
等比数列の性質《等比中項》
等比数列の性質の1つに”等比中項”というものがあります。
等比中項
数列\(a,b,c\)が等比数列のとき、
\[b^{2}=ac\]
これは等差数列の項3つ用意したときに、両端の項の積が中央の項の2乗になることを意味します。
等比数列についてもっと知りたい方は、こちらの記事がおすすめです。
-
等比数列の公式まとめ！一般項と和の公式を分かりやすく解説！
階差数列の公式
数列\(\{a_{n}\}\)の隣り合う2つの項の差
\[b_{n}=a_{n+1}-a_{n} (n=1,2,3,\cdots)\]
を項とする数列\(\{b_{n}\}\)を、数列\(\{a_{n}\}\)の階差数列といいます。
例えば以下のような数列があったとしましょう。
このときの階差数列は初項が3で、3ずつ増加しているので「初項3、公差3の等差数列」となります。
階差数列
階差数列 ⇒ 数列\(\{a_{n}\}\)の隣接する項の差を項とする数列
初項：最初の項
階差数列を用いた一般項の公式
階差数列を用いて、もとの数列の一般項を表すと以下の公式になります。
階差数列と一般項
数列\(\{a_{n}\}\)の階差数列を\(\{b_{n}\}\)とすると、n≧2のとき
\[a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1} b_{k}\]
先にシグマの公式を確認したい方は「5.シグマの計算公式」をご覧ください。
階差数列を用いた一般項の証明
なぜΣ（シグマ）を使うのでしょうか？
数列の初項\(a_{1}\)に対して、階差数列\(\{b_{n}\}\)を加えていくと考えます。
数列\(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} ... a_{n}\)があります。
この数列の階差数列を\(\{b_{n}\}\)とすると、
\(a_{1}=a_{1}\)←初項
\(a_{2}=a_{1} + b_{1}\)
\(a_{3}=a_{1} + b_{1}+b_{2}\)
\(a_{4}=a_{1} + b_{1}+b_{2}+b_{3}\)
このように初項\(a_{1}\)に階差数列の項を加えていくので、
\(a_{1}=a_{1}\)
\(a_{2}=a_{1} + b_{1}\)
\(a_{3}=a_{1} + b_{1}+b_{2}\)
：
\(a_{n}=a_{1} + b_{1}+b_{2}+ \cdots +b_{n-1} \)
したがって、階差数列を用いた一般項は
\[a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1} b_{k}\]
となります。
階差数列の一般項を求める
ここに数列があります。
3 , 5 , 8 , 12 , 17 , 23 …
この数列だけでは法則が見えませんが、各項の差を求めると
2 , 3 , 4 , 5 , 6 …
階差数列が「初項2、公差1の等差数列」になっています。
ここで階差数列を用いた数列の一般項の公式を思い出しましょう。
階差数列と一般項
数列\(\{a_{n}\}\)の階差数列を\(\{b_{n}\}\)とすると、n≧2のとき
\[a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1} b_{k}\]
もとの数列\(\{a_{n}\}\)は初項3で、階差数列\(\{b_{n}\}\)は「初項2、公差1の等差数列」なので
\[b_{n}=2+(n-1)\]
\(n≧2\)のとき、
\begin{eqnarray}
a_{n}&=&a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1} b_{k}\\
&=&3+\sum_{k=1}^{n-1} \{2+(k-1)\}\\
&=&3+\sum_{k=1}^{n-1} (1+k)\\
&=&3+\sum_{k=1}^{n-1} 1+\sum_{k=1}^{n-1} k
\end{eqnarray}
Σの公式\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\frac{1}{2}n(n+1)\)を使って、
\begin{eqnarray}
a_{n}&=&3+\sum_{k=1}^{n-1} 1+\sum_{k=1}^{n-1} k\\
\displaystyle &=&3+(n-1)+\frac{1}{2}(n-1)n\\
\displaystyle &=&\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+2\\
\end{eqnarray}
よって、\[\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+2\]
\(n=1\)のとき\(a_{1}=3\)となり、初項でも成り立つ。
したがって、与えられた数列の一般項は
\[\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+2\]
階差数列の和
数列の項を足すことを数列の和といいます。
階差数列の和の公式
数列\(\{a_{n}\}\)の初項から第\(n\)項までの和を\(S_{n}\)とすると、
\[\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}\]
実際に数字を使って和を求めてみましょう。
階差数列の和を求める
このような数列があったとします。
1 , 3 , 7 , 13 , 21 , 31 , 43 …
この数列の階差数列は「初項2、公差2の等差数列」です。
数列の和を求めるには、まず一般項\(\{a_{n}\}\)を求める必要があります。
ここで一般項を求める公式を思い出して、
\begin{eqnarray}
a_{n}&=&1+\sum_{k=1}^{n-1} \{2+2(k-1)\}\\
&=&1+\sum_{k=1}^{n-1} 2k\\
\displaystyle &=&1+2 \cdot \frac{1}{2}(n-1)n\\
&=&n^{2}-n+1
\end{eqnarray}
一般項が分かれば、数列の和を求めることができます。
初項\(\{a_{n}\}\)から第\(n\)項\(\{a_{n}\}\)までの和は、
\begin{eqnarray}
S_{n}&=&\sum_{k=1}^{n} a_{k}\\
&=&\sum_{k=1}^{n} (n^{2}-n+1)\\
&=&\sum_{k=1}^{n} n^{2}-\sum_{k=1}^{n} n+\sum_{k=1}^{n} 1\\
\displaystyle &=&\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{2}n(n+1)+n\\
\displaystyle &=&\frac{1}{3}n(n^{2}+2)
\end{eqnarray}
したがって、与えられた数列の初項から第\(n\)項までの和\(S_{n}\)は
\[\displaystyle S_{n}=\frac{1}{3}n(n^{2}+2)\]
階差数列についてもっと知りたい方はこちら。
-
階差数列を用いた一般項と和を求める公式！初項に階差を足していくだけ
シグマの公式一覧
Σの計算公式一覧
Σシグマには確実に覚えたい５つの公式があります。
Σの計算公式
どれも重要な公式なので、必ず覚えましょう。
Σシグマの性質
Σシグマの計算公式と合わせて、以下の性質も覚えておきましょう。
Σシグマの性質
\(p,q\)は定数とすると、
\(\displaystyle 1.\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=\sum_{k=1}^{n} a_{k}+\sum_{k=1}^{n} b_{k}\)
\(\displaystyle 2.\sum_{k=1}^{n} pa_{k}=p\sum_{k=1}^{n} a_{k}\)
1,2より
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(pa_{k}+qb_{k})=p\sum_{k=1}^{n} a_{k}+q\sum_{k=1}^{n} b_{k}\)
シグマの計算についてもっと知りたい方は、こちらの記事がおすすめです。
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Σシグマの計算公式と証明！数列の和が一瞬で解ける！
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数列の公式 まとめ
今回は数列を総復習できるように網羅的にまとめました。
数列 まとめ
- 等差数列
⇒一定の差で変化する数列 - 等比数列
⇒一定の比で変化する数列 - 階差数列
⇒数列\(\{a_{n}\}\)の隣接する項の差を項とする数列
等差数列の一般項
初項\(a_{1}\)、公差\(d\)の等差数列を\(\{a_{n}\}\)とすると、
\(a_{n}=a_{1} + (n-1)d\)
等比数列の一般項
初項\(a_{1}\)、公比\(r\)の等比数列\(\{a_{n}\}\)とすると、
\(a_{n}=a_{1} \cdot r^{n-1}\)
階差数列と一般項
数列\(\{a_{n}\}\)の階差数列を\(\{b_{n}\}\)とすると、n≧2のとき
\[a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1} b_{k}\]
数列は覚えることが多いですが、問題パターンは限られています。
問題に慣れれば、今回で紹介した公式だけでほとんどの問題を解くことができます。
また、数列以外のまとめ記事を出しています。ぜひご覧ください。
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