Σシグマの計算公式と証明!数列の和が一瞬で解ける!

Σシグマの計算公式と証明!数列の和が一瞬で解ける!


「シグマの公式が分からない」
「数列のシグマの計算が苦手」
今回は数列のシグマに関する悩みを解決します。

高校生
Σシグマの公式を忘れてしまって、数列の和が求められない...

 

数列の和を求める問題など、さまざまな所でΣ(シグマ)を使います。

まず前提の知識として、Σ(シグマ)とは総和を表す記号で、

\[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+ \cdots +a_{n}\]

を表しています。

例えば、\(\displaystyle \sum_{k=3}^{10} a_{k}\)のときは、\(a_{n}\)のn=3からn=10までの足し算を意味します。

\[\displaystyle \sum_{k=3}^{10} a_{k}=a_{3}+a_{4}+ \cdots +a_{10}\]

 

そんなシグマには絶対に覚えておきたい5つの公式があります。

Σの計算公式

\(\displaystyle 1. \sum_{k=1}^{n} a=an\)

\(\displaystyle 2. \sum_{k=1}^{n} k=\frac{1}{2}n(n+1)\)

\(\displaystyle 3. \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

\(\displaystyle 4. \sum_{k=1}^{n} k^{3}=\{\frac{1}{2}n(n+1)\}^{2}\)

\(\displaystyle 5. \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\)

 

本記事ではΣシグマの計算公式と性質について解説します。

Σの計算ができないのは公式を覚えていない場合が多いです。本記事を読んで、ぜひ覚えてしまいましょう。

記事の内容

筆者の信頼性

定期テスト対策

中間テストがヤバイ!
河合塾Oneなら10分で分からないを解決できる!

大手予備校河合塾の新サービスを徹底解説しました。

>>河合塾Oneの特徴と評判を解説!実際に使ってみたリアルな感想

※いまなら7日間の無料体験あり

Σシグマの計算公式

Σシグマを学習するにあたって、確実に覚えておきたい公式が5つあります。

Σの計算公式

\(\displaystyle 1. \sum_{k=1}^{n} a=an\)

\(\displaystyle 2. \sum_{k=1}^{n} k=\frac{1}{2}n(n+1)\)

\(\displaystyle 3. \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

\(\displaystyle 4. \sum_{k=1}^{n} k^{3}=\{\frac{1}{2}n(n+1)\}^{2}\)

\(\displaystyle 5. \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\)

どれも重要な公式なので、必ず覚えましょう。

シグマの計算公式の証明は「4. Σシグマの公式の証明」で解説します。

シータ
これからは当たり前のように公式を使うからね

Σシグマの性質

Σシグマの計算公式と合わせて、以下の性質も覚えておきましょう。

Σシグマの性質

\(p,q\)は定数とすると、

\(\displaystyle 1.\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=\sum_{k=1}^{n} a_{k}+\sum_{k=1}^{n} b_{k}\)

\(\displaystyle 2.\sum_{k=1}^{n} pa_{k}=p\sum_{k=1}^{n} a_{k}\)

1,2より

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(pa_{k}+qb_{k})=p\sum_{k=1}^{n} a_{k}+q\sum_{k=1}^{n} b_{k}\)

それぞれの性質について証明します。

Σシグマの性質①の証明

数列\(\{a_{n}\},\{b_{n}\}\)に対して、

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})\)
\(\displaystyle =(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+\cdots+(a_{n}+b_{n})\)
\(\displaystyle =(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})+(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n})\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^{n} a_{k}+\sum_{k=1}^{n} b_{k}\)

Σシグマの性質②の証明

数列\(\{a_{n}\}\)に対して、\(p\)を定数とすると

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} pa_{k}\)
\(\displaystyle =pa_{1}+pa_{2}+\cdots+pa_{n}\)
\(\displaystyle =p(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})\)
\(\displaystyle =p\sum_{k=1}^{n} a_{k}\)

Σシグマの性質③の証明

数列\(\{a_{n}\},\{b_{n}\}\)に対して、\(p,q\)を定数とすると

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(pa_{k}+qb_{k})\)
\(\displaystyle =(pa_{1}+qb_{1})+(pa_{2}+qb_{2})+\cdots+(pa_{n}+qb_{n})\)
\(\displaystyle =p(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})+q(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n})\)
\(\displaystyle =p\sum_{k=1}^{n} a_{k}+q\sum_{k=1}^{n} b_{k}\)

以上のΣの計算公式と性質を利用すれば、様々な数列の和も求めることができます。

高校生
かっこの中身を分けたりできるんだね!
そういうこと!工夫して計算するのが大事だよ!
シータ

Σシグマを利用する問題

Σシグマの基本問題

実際に公式や性質を使って、いくつか問題を解いてみましょう。

まずは超基本となる計算問題から

Σシグマの基本問題

次の計算をしてみよう。

\(\displaystyle 1.\sum_{k=1}^{n} 3k\)

\(\displaystyle 2.\sum_{k=1}^{n} (k^{2}+2k)\)

\(\displaystyle 3.\sum_{k=1}^{n} 3 \cdot 2^{k}\)

(1)の解説

(1)の問題は定数の3を前に出すことで、Σの計算公式②の等差数列の和が使えます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 3k&=&3 \sum_{k=1}^{n} k\\
\displaystyle &=&3 \cdot \frac{1}{2}n(n+1)\\
\displaystyle &=&\frac{3}{2}n(n+1)
\end{eqnarray}

使った公式

\[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\frac{1}{2}n(n+1)\]

(2)の解説

(2)の問題はかっこのなかを分けて計算します。\begin{eqnarray}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (k^{2}+2k)&=&\sum_{k=1}^{n} k^{2}+\sum_{k=1}^{n} 2k\\
\displaystyle &=&\sum_{k=1}^{n} k^{2}+2\sum_{k=1}^{n} k\\
\displaystyle &=&\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+2 \cdot \frac{1}{2}n(n+1)\\
\displaystyle &=&\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)
\end{eqnarray}

使った公式

\[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\frac{1}{2}n(n+1)\]

\[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\]

(3)の解説

(3)の問題は計算公式⑤で紹介した等比数列の和として考えます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} 3 \cdot 2^{k}&=&3 \sum_{k=1}^{n} 2^{k}\\
\displaystyle &=&3 \cdot \frac{2(2^{n}-1)}{2-1}\\
\displaystyle &=&6(2^{n}-1)
\end{eqnarray}

 

等差数列や等比数列の和の公式をまだ覚えてない人はすぐに確認しましょう!

シータ
これは公式を覚えてスラスラと解けて欲しいな
公式を覚えたから計算ならできそう!
高校生

一般項を求めてから和を求める問題

以下のような一般項を求めてから和を求める問題もあります。

数列の和

次の数列の初項から第\(n\)項までの和を求めよう。

\[1 , 6 , 11 , 16 , 21 , …\]

この問題はまず数列の一般項\(a_{n}\)を求める必要があります。

なぜなら、一般項で表すことでΣの計算ができるようになるからです。

1 , 6 , 11 , 16 , 21 , …

与えられた数列は「初項1、公差5の等差数列」です。

したがって、一般項\(a_{n}\)は

\begin{eqnarray}
a_{n}&=&1+5(n-1)\\
&=&5n-4
\end{eqnarray}

一般項が分かればあとはΣの計算をするだけです。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k}&=&\sum_{k=1}^{n} (5k-4)\\
\displaystyle &=&5 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 4\\
\displaystyle &=&5 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) - 4n\\
\displaystyle &=&\frac{1}{2}n(5n-3)
\end{eqnarray}

したがって、与えられた数列の初項から第\(n\)項までの和を求めることができました。

参考

等差数列の一般項の求め方は「等差数列の一般項と和の公式を分かりやすく解説!」で解説しています。

階差数列を用いた一般項と和を求める公式!初項に階差を足していくだけ
階差数列を用いた一般項と和を求める公式!初項に階差を足していくだけ

「階差数列ってなに?」 「数列の一般項の求め方は?」 「和の ...

数列の一般項を求める

数列の一般項を求めるときにもΣを使います。

階差数列

数列\(\{a_{n}\}\)の隣り合う項の差でできた数列\(\{b_{n}\}\)を階差数列といいます。

 

もとの数列の一般項\(a_{n}\)を求めるには、初項\(a_{1}\)に対して階差数列\(\{b_{n}\}\)を加えるイメージで考えます。

\(a_{1}=a_{1}\) ←初項

\(a_{2}=a_{1}+b_{1}\)

\(\displaystyle a_{3}=a_{2}+b_{2}=a_{1}+\sum_{k=1}^{2} b_{k}\)

\(\displaystyle a_{4}=a_{3}+b_{3}=a_{1}+\sum_{k=1}^{3} b_{k}\)

\(\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+b_{n-1}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1} b_{k}\)

したがって、元の数列の一般項\(a_{n}\)は

\[\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+b_{n-1}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1} b_{k}\]

で求めることができます。

階差数列については「階差数列を用いた一般項と和を求める公式!」で詳しくまとめました。

分数の和は部分分数分解

以下のような分数の和はシグマではなく部分分数分解で解きます。

\[\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}\]

高校生
部分分数分解...漢字が多くて難しそう...

なんだか難しそうと思った方も多いですよね。

部分分数分解とは、以下のように1つの分数を分解することを指します。

部分分数分解

\[\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\]

部分分数分解を利用すると、与えられた分数の和も

\begin{eqnarray}
\displaystyle S&=&\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}\\
\displaystyle &=&(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\
\displaystyle &=&1-\frac{1}{n+1}\\
\displaystyle &=&\frac{n}{n+1}
\end{eqnarray}

それぞれの分数が符号の違うもの同士で相殺するので、シンプルな答えになります。

高校生
これは部分分数分解を知らないと困っちゃうね
そうなんだよ。分数の和をみたら部分分数分解を疑ってみよう
シータ

4. Σシグマの公式の証明

1.Σシグマの計算公式」で紹介したΣシグマの公式を証明します。

証明を読まない方は飛ばしてもらって大丈夫なところです。

証明を飛ばす

Σシグマの計算公式

\(\displaystyle 1. \sum_{k=1}^{n} a=an\)

\(\displaystyle 2. \sum_{k=1}^{n} k=\frac{1}{2}n(n+1)\)

\(\displaystyle 3. \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

\(\displaystyle 4. \sum_{k=1}^{n} k^{3}=\{\frac{1}{2}n(n+1)\}^{2}\)

\(\displaystyle 5. \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\)

公式の証明①

\(a\)が\(k\)を含んでいないので\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a\)というのは、\(a\)を\(n\)回足すことを意味します。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a&=&a+a+ \cdot + a\\
&=&an
\end{eqnarray}

公式の証明②

\[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=1+2+3+\cdots +n\]

これは「初項1、末項\(n\)、項数\(n\)の等差数列の和」を表しています。

右辺を等差数列の和の公式に置き換えて

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k&=&1+3+ \cdot + n\\
\displaystyle &=&\frac{1}{2}n(n+1)
\end{eqnarray}

公式の証明③

恒等式

\[(k+1)^{3}-k^{3}=3k^{3}+3k+1\]

を利用します。

\(k=1,2,3,\cdots,n\)とすると

シグマの公式証明①

これらの式の両辺を加えると、

シグマの公式証明②

これらを移項して、

\[\displaystyle 3\sum_{k=1}^{n} k^{2}=(n+1)^{3}-1-3\sum_{k=1}^{n} k -n\]

ここで\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k =\frac{1}{2}n(n+1)\)を代入して

\begin{eqnarray}
\displaystyle 3 \sum_{k=1}^{n} k^{2} &=& (n+1)^{3}-1-3 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) -n\\
\displaystyle &=& n^{3}+3 n^{2}+3 n-\frac{3}{2} n^{2}-\frac{5}{2} n \\
\displaystyle &=& n^{3}+\frac{3}{2} n^{2}+\frac{1}{2} n \\
\displaystyle &=& \frac{1}{2} n\left(2 n^{2}+3 n+1\right) \\
\displaystyle &=& \frac{1}{2} n(n+1)(2 n+1)
\end{eqnarray}

最後に両辺を3で割って、

\[\displaystyle  \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\]

公式の証明④

恒等式

\[(k+1)^{4}-k^{4}=4k^{3}+6k^{2}+4k+1\]

を利用します。

\(k=1,2,3,\cdots,n\)とすると

シグマの公式証明③

これらの式の両辺を加えると、

シグマの公式証明④

これらを移項して、

\[\displaystyle 4\sum_{k=1}^{n} k^{3}=(n+1)^{4}-1-6\sum_{k=1}^{n} k^{2} -4\sum_{k=1}^{n} k -n\]

ここで

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k =\frac{1}{2}n(n+1)\)
\(\displaystyle  \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

を代入して、式を整理すると、

\[\displaystyle 4\sum_{k=1}^{n} k^{3}=n^{2}(n+1)^{2}\]

最後に両辺を4で割って、

\[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^{3}=\{\frac{1}{2}n(n+1)\}^{2}\]

公式の証明⑤

\[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1}=a+ar+\cdots +ar^{n-1}\]

これは「初項\(a\)、公比\(r\)、項数\(n-1\)の等比数列の和」を表しています。

右辺を等比数列の和の公式に置き換えると

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1}&=&a+ar+\cdots +ar^{n-1}\\
\displaystyle &=&\frac{a(r^{n}-1)}{r-1} (r > 0)\\
\displaystyle &=&\frac{a(1-r^{n})}{1-r} (r < 0)
\end{eqnarray}

公式の証明はできなくても問題ないので、まずは5つの公式を確実に使えるようになりましょう。

《重要》3つの基本数列

今回はΣシグマの公式や性質について解説しました。

シグマは数列の和を求めるときに活躍しますが、そもそも数列の一般項を求められないとシグマを活用できません。

以下の数列はかなり重要なので確実に押さえておきましょう。

基本の数列

  • 等差数列
  • 等比数列
  • 階差数列

・等差数列

等差数列とは、「一定の差で変化する数列」を指します。

等差数列

・等比数列

等比数列とは、「初めの項に一定の数をかけ続けていく数列」を指します。

等比数列

・階差数列

階差数列は複雑で、各項の差を書き出してみるとある数列が見えてきます。

階差数列

上の数列の場合、各項の差が等差数列になっています。

この差が等比数列になる場合もありますし、もっと複雑な数列になるときもあります。

 

数Bの数列についてまとめ記事を作りました。
基礎から確認したい方はぜひご覧ください。

【数列の公式まとめ】等差・等比・階差・漸化式・群数列を徹底解説!

「数列が苦手」 「数列の総復習をしたい」 今回は数列に関する ...

Σシグマの公式 まとめ

今回はΣシグマの計算公式や性質についてまとめました。

Σシグマの公式 まとめ

Σの計算公式

\(\displaystyle 1. \sum_{k=1}^{n} a=an\)

\(\displaystyle 2. \sum_{k=1}^{n} k=\frac{1}{2}n(n+1)\)

\(\displaystyle 3. \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

\(\displaystyle 4. \sum_{k=1}^{n} k^{3}=\{\frac{1}{2}n(n+1)\}^{2}\)

\(\displaystyle 5. \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\)

Σシグマの性質

\(p,q\)は定数とすると、

\(\displaystyle 1.\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=\sum_{k=1}^{n} a_{k}+\sum_{k=1}^{n} b_{k}\)

\(\displaystyle 2.\sum_{k=1}^{n} pa_{k}=p\sum_{k=1}^{n} a_{k}\)

1,2より

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(pa_{k}+qb_{k})=p\sum_{k=1}^{n} a_{k}+q\sum_{k=1}^{n} b_{k}\)

数列の単元は覚えることは多いですが、問題のパターンが限られています。

それぞれの性質や公式をしっかりと覚えれば、数列はベクトルよりも得点しやすい単元です。

高校生
Σの計算が苦手だと思っていたけど、公式を覚えていないだけだったんだね!
そうそう!公式を覚えていれば特に難しいことはしていないよ
シータ

Σの計算がスムーズにできると、数列の和や群数列の問題でも素早く解くことができます。

各数列の性質や、漸化式、群数列について知りたい方は「数列まとめ記事」をご覧ください。

【数列の公式まとめ】等差・等比・階差・漸化式・群数列を徹底解説!

「数列が苦手」 「数列の総復習をしたい」 今回は数列に関する ...

数列のまとめ記事へ

 

定期テストにおすすめな映像授業

河合塾One

基本から学びたい方には河合塾Oneがおすすめ!
AIが正答率を判断して、あなただけのオリジナルカリキュラムを作成してくれます!
まずは7日間の無料体験から始めましょう!

スタディサプリ

会員数157万人の業界No.1の映像授業サービス。
月額2,178円で各教科のプロによる授業が受け放題!分からないところだけ学べるので、学習効率も大幅にUP!
本気で変わりたいならすぐに始めよう!

おすすめ記事

偏差値40から60に上げたぼくの勉強法 1

「勉強してるのに成績が上がらない」 「テスト当日は頭が真っ白 ...

【2021年】おすすめ映像授業5選を徹底比較!《高校生向け》 2

  いますぐ始めたい方へ⇩当記事で人気の映像授業は ...

【無料体験あり】AmazonKindleなら参考書が読み放題!いますぐ始めよう! 3

Amazonで参考書が無料で読めるって知っていますか? 今回 ...

-数列
-, ,

© 2021 マストラ高校数学まとめサイト Powered by AFFINGER5