三角関数

【積和の公式&和積の公式】積和の公式の導き方と覚え方

【積和の公式&和積の公式】積和の公式の導き方と覚え方

 

・積和の公式ってなに?
・どうやって使うんですか?

 

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

 

こんにちは。

みなさんは、積和の公式をご存じですか?

sincos=sin+sinみたいなやつですよね
そうそう!
よく知ってるね!

 

積和の公式の親戚に、和積の公式というものがあります。

和積の公式は、本記事で解説する積和の公式を変形して導かれます。

なのでまずは【積和の公式&和積の公式】から積和の公式の導き方と覚え方をまとめていきましょう。

記事の内容
・積和の公式
・積和の公式 導き方
・積和の公式 覚え方
・積和の公式《練習問題》

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

積和の公式

積和の公式
まず積和の公式を見てみましょう。

積和の公式

\(\displaystyle \sin α \cos β=\frac{1}{2}\{\sin (α+β)+\sin (α-β)\}\)

\(\displaystyle \sin α \sin β=\frac{1}{2}\{-\cos (α+β)+\cos (α-β)\} \)

\(\displaystyle \cos α \cos β=\frac{1}{2}\{\cos (α+β)+\cos (α-β)\}\)

 

このように、三角関数の積の形をした式から、和の形にした式へ変形するのが積和の公式です。

 

 

積和の公式 導き方

積和の公式 導き方
積和の公式は加法定理を用いて導くことができます。

① \(\displaystyle \sin α \cos β=\frac{1}{2}\{\sin (α+β)+\sin (α-β)\}\)

② \(\displaystyle \sin α \sin β=\frac{1}{2}\{-\cos (α+β)+\cos (α-β)\}\)

③ \(\displaystyle \cos α \cos β=\frac{1}{2}\{\cos (α+β)+\cos (α-β)\}\)

 

積和の公式①の導き方

 

sinの加法定理より,

\(\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \cdots(1)\)
\(\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta \cdots(2)\)

である.

\((1)+(2)\)より、

\(\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)=2 \sin \alpha \cos \beta \cdots(3)\)

\((3)\)を变形して,

\(\displaystyle \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)\}\)

を導くことができる。

 

積和の公式②の導き方

 

cosの加法定理より,

\(\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \cdots(4)\)
\(\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta \cdots(5)\)

である.

\((4)-(5)\)

\(\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)=-2 \sin \alpha \sin \beta \cdots(6)\)

\((6)\)を变形して,

\(\displaystyle \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)\}\)

を導くことができる。

 

積和の公式③の導き方

 

cosの加法定理より,

\(\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \cdots(4)\)
\(\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta \cdots(5)\)

である.

\((4)+(5)\)より

\(\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=2 \cos \alpha \cos \beta \cdots(7)\)

\((7)\)を变形して,

\(\displaystyle \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)\}\)

を導くことができる。

 

積和の公式 覚え方

 

実は積和の公式&和積の公式は覚えなくて良いです

なぜかというと

めったに出てこないから!

 

それだと、いざ出たときに
困るんじゃないですか?

そうですね、なので

積和の公式が加法定理で求められることを覚えておけば良いんです!

 

\(\displaystyle \sin α \cos β=\frac{1}{2}\{\sin (α+β)+\sin (α-β)\}\)

僕も学生時代、加法定理「咲いたコスモス コスモス咲いた」のように積和の公式も

「咲いたコスモス 咲いた咲いたの半分」

とか自分で語呂合わせを作って覚えようとしましたけど、

めったに使わないし、逆に色んなものと混じって分からなくなったので、積和の公式は暗記しなくても大丈夫です。

 

積和の公式<練習問題>

積和の公式<練習問題>
それでは今回学習した積和の公式を使った、練習問題を解いていきましょう。

 

練習問題1次の式を和・差の形に直してください。
\(\sin \theta \cos 3 \theta\)

解説

\(\displaystyle \sin α \cos β=\frac{1}{2}\{\sin (α+β)+\sin (α-β)\}\)

積和の公式を使います。

\(\displaystyle \sin \theta \cos 3 \theta\)

\(\displaystyle =\frac{1}{2}\{\sin(\theta + 3 \theta)+\sin(\theta - 3 \theta)\}\)

\(\displaystyle =\frac{1}{2}\{\sin 4 \theta +\sin(- 2 \theta)\}\)

\(\displaystyle =\frac{1}{2}\{\sin 4 \theta - \sin 2 \theta \}\)

 

練習問題2次の値を求めなさい。
\(\displaystyle \sin \frac{5}{12} \pi \sin \frac{\pi}{12}\)

解説

\(\displaystyle \sin α \sin β=\frac{1}{2}\{-\cos (α+β)+\cos (α-β)\} \)

\(\displaystyle \sin \frac{5}{12} \pi \sin \frac{\pi}{12}\)

\(=\displaystyle \frac{1}{2}\{-\cos (\frac{5}{12} \pi +\frac{\pi}{12} )+\cos (\frac{5}{12}\pi - \frac{\pi}{12})\}\)

\(=\displaystyle \frac{1}{2}\{-\cos \frac{6}{12} \pi +\cos \frac{4}{12}\pi\}\)

\(=\displaystyle \frac{1}{2}\{-\cos \frac{\pi}{2} +\cos \frac{\pi}{3}\}\)

\(=\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\)

\(=\displaystyle \frac{1}{4}\)

 

積和の公式 まとめ

 

積和の公式

\(\displaystyle \sin α \cos β=\frac{1}{2}\{\sin (α+β)+\sin (α-β)\}\)

\(\displaystyle \sin α \sin β=\frac{1}{2}\{-\cos (α+β)+\cos (α-β)\} \)

\(\displaystyle \cos α \cos β=\frac{1}{2}\{\cos (α+β)+\cos (α-β)\}\)

 

おわりに

 

今回は数学Ⅱの三角関数から積和の公式についてまとめました。

積和の親戚みたいな「和積の公式」についてもまとめてあります。
他にも、教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていきます。

お気に入り登録しておいてもらえると、定期試験前や入試勉強をするときに確認できます。

 

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

 

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