「正弦定理ってなんだっけ？」
「正弦定理の使い方は？」
今回は正弦定理に関するこんな悩みを解決します。
今回は三角関数の正弦定理についてまとめました。
さっそくですが、辺ABの長さがいくつか分かりますか？
「これだけじゃ分からないよ！」
そう思った方が多いのではないでしょうか？
実は"正弦定理"を使えば、辺ABの長さを簡単に求められるのです！
これが正弦定理なのです！
本記事では正弦定理の公式や証明について解説します。
三角関数が苦手な方はぜひ最後までご覧ください。
記事の内容
正弦定理の公式
正弦定理は三角関数の重要な公式の1つです。
各頂点A,B,Cとして、向かい合う辺をa,b,cとしましょう。
正弦定理
△ABCの外接円の半径をRとすると、次が成り立つ。
\[\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\]
正弦定理を活用することで、辺や角の大きさを求めることができます。
正弦定理の使い方
以下の問題を例にして正弦定理の使い方を解説します。
練習問題
半径5cmの円に内接する三角形ABCがあります。
\(C=60^\circ\)のとき、辺ABの値を求めよう。
この問題は、円の半径と角の大きさが分かっているので、正弦定理を用いて考えます。
辺ABの大きさをcとすると正弦定理より、
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{c}{\sin C}&=&2R\\
\displaystyle \frac{c}{\sin 60^\circ}&=&2 \times 5\\
c&=&10 \sin 60^\circ\\
c&=&5\sqrt{3}
\end{eqnarray}
したがって、ABの大きさは\(5\sqrt{3}\)だと分かりました。
正弦定理の証明
なぜ正弦定理が成り立つのか証明していきましょう。
三角形の３つの頂点を通す円を、その三角形の外接円といいます。
△ABCの外接円の半径をRとしましょう。
\([1] 0^\circ < A < 90^\circ\)のとき
点Aとは異なる点Dを円周上にとり、直角三角形\(DCB\)を作ります。
円周角と中心角の性質により、
\[\angle BDC = \angle BAC \]
また、\(\angle BCD = 90^\circ\)より、
\[BD=2R\]
△BCDにおいて
\begin{eqnarray}
a&=&2R\sin \angle BDC\\
&=&2R\sin \angle BAC
\end{eqnarray}
が成り立つ。
したがって、
\[\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R\]
\([2] A = 90^\circ\)のとき
辺BCは、△ABCの外接円の直径になので
\[a=2R\]
一方で、\(\sin A=\sin 90^\circ=1\)なので、
\[a=2R\sin A\]
したがって、
\[\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R\]
\([3] 90^\circ < A < 180^\circ\)のとき
上の図で、線分BDは△ABCの外接円の直径とする。
\(\angle BDC=D\)とすると、円周角と中心角の性質より
\[2A+2D=360^\circ\]
すなわち、
\[A+D=180^\circ\]
\begin{eqnarray}
\sin D&=&\sin(180^\circ -A)\\
&=&\sin A
\end{eqnarray}
ここで、
\(\angle BCD=90^\circ、BD=2R\)であるから、△BCDにおいて、
\begin{eqnarray}
a&=&2R\sin D\\
&=&2R \sin (180^\circ -A)\\
&=&2R \sin A
\end{eqnarray}
したがって、
\[\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R\]
[1]~[3]より、正弦定理の証明終了。
余弦定理との使い分け
正弦定理とあわせて覚えておきたいのが余弦定理です。
三角形ABCの向かい合う辺をa,b,cとすると、
余弦定理
△ABCにおいて、次が成り立つ。
\begin{eqnarray}
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos A\\
b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac \cos B\\
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab \cos C
\end{eqnarray}
この関係を余弦定理といいます。
名前の似ている2つの定理ですが、使い分けに困りますよね。
それぞれの定理を使うタイミングをざっくりとまとめました。あくまで参考程度にご覧ください。
正弦定理と余弦定理
正弦定理を使う時
①1辺と2つの角が与えられている場合
②1組の向かい合う辺と角が与えられている場合
③外接円の半径を求めたい場合
余弦定理を使う時
①2辺とその間の角が与えられている場合
②3辺が与えられているとき
「5つも覚えられないよ！」
そんな方は以下のように覚えましょう。
辺が1つだけ与えられたら ⇒ 正弦定理
辺が2つ以上与えられたら ⇒ 余弦定理
正弦定理《練習問題》
今回学んだ正弦定理を用いて、練習問題に挑戦してみましょう。
練習問題1
\(a=5,A=45^\circ\)の三角形ABCにおいて、外接円の半径\(R\)を求めよう。
解説
正弦定理より、
\begin{eqnarray}
\displaystyle 2R&=&\frac{a}{sin A}\\
\displaystyle &=&\frac{5}{sin 45^\circ}\\
\displaystyle &=&\frac{5}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\
&=&5\sqrt{2}
\end{eqnarray}
したがって、
\[\displaystyle R=\frac{5\sqrt{2}}{2}\]
練習問題2
\(△ABC\)において\(c=10\)で、外接円の半径が\(R=10\)のとき、\(\angle C\)の大きさを求めよう。
解説
正弦定理
\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{c}{sin C}&=&2R\\
\displaystyle \frac{10}{sin C}&=&20\\
\displaystyle sin C=\frac{1}{2}
\end{eqnarray}
したがって、
\[\angle C=30^\circ,150^\circ\]
正弦定理 まとめ
今回は正弦定理についてまとめました。
正弦定理 まとめ
正弦定理
△ABCの外接円の半径をRとすると、次が成り立つ。
\[\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\]
正弦定理を使うことで、辺の長さや角の大きさを求めることができます。
正弦定理と余弦定理
正弦定理を使う時
①1辺と2つの角が与えられている場合
②1組の向かい合う辺と角が与えられている場合
③外接円の半径を求めたい場合
余弦定理を使う時
①2辺とその間の角が与えられている場合
②3辺が与えられているとき
そして、正弦定理とあわせて理解したいのが余弦定理です。
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