正弦定理の公式と証明を5分でサクッと解説！

・正弦定理ってなんだっけ？
・正弦定理はどうやって使うの？

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

さっそくですが、辺ABの長さがいくつになるか分かりますか？

今日の課題半径5cmの円に内接する三角形ABCがある。C=\(60^\circ\)のとき、辺ABの値を求めよ。

えっ!?これだけのヒントじゃ求められないですよ💦

そう思った方多いんじゃないですか？

実は「正弦定理」を使えば、辺ABの長さを簡単に求めることができちゃうんです！

これが正弦定理なのです！！

正弦定理ぜひ使いこなせるようになりたいです！

そんなあなたに向けて、三角関数から正弦定理の公式とその証明をまとめていきます。

正弦定理　公式

正弦定理は三角形に使う定理です。

各頂点A,B,Cとして、向かい合う辺をa,b,cとする。

正弦定理は三角比を用いた重要定理の１つです。

１つの角度と、向かい合う辺の大きさが分かれば、外接円の半径を求めることができます。

正弦定理の公式を変形することで、辺の大きさや角の大きさを求めることもできます。

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正弦定理　証明

 
課題を解決していく前に、なぜ正弦定理が成り立つのか確認もかねて証明していきましょう。

三角形の３つの頂点を通す円を、その三角形の外接円といいます。

△ABCの外接円の半径をRとする。

\([1]　0^\circ < A < 90^\circ\)のとき

円周角と中心角の性質により、

\(\angle BDC = \angle BAC =A\)

\(\angle BCD = 90^\circ\)

が成り立つ。

\(BD=2R\)なので、

△BCDにおいて

\(a=2RsinA\)

が成り立つ。

\([2]　A = 90^\circ\)のとき

辺BCは、△ABCの外接円の直径になる。

外接円の半径はRであるから、

\(a=2R\)である。

一方で、\(sin A=sin 90^\circ=1\)なので、

\(a=2Rsin A\)が成り立つ。

これで、\(A = 90^\circ\)のときも確認できた。

\([3]　90^\circ < A < 180^\circ\)のとき

上の図で、線分BDは△ABCの外接円の直径とする。

\(\angle BDC=D\)とすると、円周角と中心角の性質より

\(2A+2D=360^\circ\)

すなわち、

\(A+D=180^\circ\)

\(sin D=sin(180^\circ -A)=sin A\)

ここで、

\(\angle BCD=90^\circ,BD=2R\)であるから、△BCDにおいて、

\(a=2RsinD\)が成り立つので、

\(a=2RsinA\)

したがって、正弦定理の証明終了。

今日の課題

では、冒頭でも登場した今日の課題を一緒に解いていきます。

今日の課題半径5cmの円に内接する三角形ABCがある。C=\(60^\circ\)の時辺ABの値を求めよ。

円の半径と角の大きさが1つ分かっているので、向かい合う辺ABの大きさを求めることができます。

辺ABの大きさをcとすると正弦定理より、

\(\displaystyle \frac{c}{sin C}=2R\)

\(\displaystyle \frac{c}{sin 60^\circ}=2 \times 5\)

\(c=10 sin 60^\circ\)

\(\displaystyle c=10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(c=5\sqrt{3}\)

したがって、ABの大きさは\(5\sqrt{3}\)である。

正弦定理＜練習問題＞

今回学んだ「正弦定理」を用いて、練習問題に挑戦してみましょう。

練習問題１\(a=5,A=45^\circ\)の三角形ABCにおいて、外接円の半径\(R\)を求めよ。

解説

正弦定理より、

\(\displaystyle \frac{a}{sin A}=2R\)

\(\displaystyle \frac{5}{sin 45^\circ}=2R\)

\(\displaystyle \frac{5}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=2R\)

\(5\sqrt{2}=2R\)

したがって、

\(\displaystyle R=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)

解説

正弦定理

\(\displaystyle \frac{c}{sin C}=2R\)

\(\displaystyle \frac{10}{sin C}=20\)

\(\displaystyle sin C=\frac{1}{2}\)

したがって、

\(C=30^\circ,150^\circ\)

おわりに

今回は数学Ⅱの三角関数から正弦定理についてまとめました。

他にも、教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていきます。

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Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。

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では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

みんなの努力が報われますように！

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