正弦定理の公式と使い方を徹底解説!余弦定理との使い分けは?

正弦定理の公式と使い方を徹底解説!余弦定理との使い分けは?

「正弦定理ってなんだっけ?」
「正弦定理の使い方は?」
今回は正弦定理に関するこんな悩みを解決します。

高校生
正弦定理がよく分からなくて...

 

今回は三角関数の正弦定理についてまとめました。

さっそくですが、辺ABの長さがいくつか分かりますか?

 

今日の課題

 

「これだけじゃ分からないよ!」

そう思った方が多いのではないでしょうか?

 

実は"正弦定理"を使えば、辺ABの長さを簡単に求められるのです!

これが正弦定理なのです!

 

本記事では正弦定理の公式や証明について解説します。

三角関数が苦手な方はぜひ最後までご覧ください。

記事の内容

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正弦定理の公式

正弦定理 公式
正弦定理は三角関数の重要な公式の1つです。

各頂点A,B,Cとして、向かい合う辺をa,b,cとしましょう。

正弦定理

正弦定理

△ABCの外接円の半径をRとすると、次が成り立つ。

\[\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\]

正弦定理を活用することで、辺や角の大きさを求めることができます。

 

高校生
公式は覚えてるけど使い方がよく分からなくて...
例題をもとに正弦定理を使ってみよう!
シータ

正弦定理の使い方

以下の問題を例にして正弦定理の使い方を解説します。

練習問題

半径5cmの円に内接する三角形ABCがあります。

\(C=60^\circ\)のとき、辺ABの値を求めよう。

今日の課題

 

この問題は、円の半径と角の大きさが分かっているので、正弦定理を用いて考えます。

辺ABの大きさをcとすると正弦定理より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{c}{\sin C}&=&2R\\
\displaystyle \frac{c}{\sin 60^\circ}&=&2 \times 5\\
c&=&10 \sin 60^\circ\\
c&=&5\sqrt{3}
\end{eqnarray}

したがって、ABの大きさは\(5\sqrt{3}\)だと分かりました。

正弦定理の証明

正弦定理 証明

なぜ正弦定理が成り立つのか証明していきましょう。

三角形の3つの頂点を通す円を、その三角形の外接円といいます。

△ABCの外接円の半径をRとしましょう。

\([1] 0^\circ < A < 90^\circ\)のとき

正弦定理 証明1

点Aとは異なる点Dを円周上にとり、直角三角形\(DCB\)を作ります。

円周角と中心角の性質により、

\[\angle BDC = \angle BAC \]

また、\(\angle BCD = 90^\circ\)より、

\[BD=2R\]

 

△BCDにおいて

\begin{eqnarray}
a&=&2R\sin \angle BDC\\
&=&2R\sin \angle BAC
\end{eqnarray}

が成り立つ。

したがって、

\[\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R\]

 

\([2] A = 90^\circ\)のとき

正弦定理 証明2

辺BCは、△ABCの外接円の直径になので

\[a=2R\]

一方で、\(\sin A=\sin 90^\circ=1\)なので、

\[a=2R\sin A\]

 

したがって、

\[\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R\]

 

\([3] 90^\circ < A < 180^\circ\)のとき

正弦定理 証明3

上の図で、線分BDは△ABCの外接円の直径とする。

\(\angle BDC=D\)とすると、円周角と中心角の性質より

\[2A+2D=360^\circ\]

すなわち、

\[A+D=180^\circ\]

\begin{eqnarray}
\sin D&=&\sin(180^\circ -A)\\
&=&\sin A
\end{eqnarray}

ここで、

\(\angle BCD=90^\circ、BD=2R\)であるから、△BCDにおいて、

\begin{eqnarray}
a&=&2R\sin D\\
&=&2R \sin (180^\circ -A)\\
&=&2R \sin A
\end{eqnarray}

したがって、

\[\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R\]

 

[1]~[3]より、正弦定理の証明終了。

余弦定理との使い分け

正弦定理とあわせて覚えておきたいのが余弦定理です。

三角形ABCの向かい合う辺をa,b,cとすると、

余弦定理

余弦定理

△ABCにおいて、次が成り立つ。

\begin{eqnarray}
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos A\\
b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac \cos B\\
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab \cos C
\end{eqnarray}

この関係を余弦定理といいます。

 

名前の似ている2つの定理ですが、使い分けに困りますよね。

それぞれの定理を使うタイミングをざっくりとまとめました。あくまで参考程度にご覧ください。

正弦定理と余弦定理

正弦定理を使う時

①1辺と2つの角が与えられている場合
②1組の向かい合う辺と角が与えられている場合
③外接円の半径を求めたい場合

余弦定理を使う時

①2辺とその間の角が与えられている場合
②3辺が与えられているとき

「5つも覚えられないよ!」

そんな方は以下のように覚えましょう。

辺が1つだけ与えられたら ⇒ 正弦定理
辺が2つ以上与えられたら ⇒ 余弦定理

 

高校生
これなら覚えやすいです!!
必ず使えるわけではないので、参考程度に使ってね
シータ

正弦定理《練習問題》

今回学んだ正弦定理を用いて、練習問題に挑戦してみましょう。

練習問題1

\(a=5,A=45^\circ\)の三角形ABCにおいて、外接円の半径\(R\)を求めよう。

練習問題1

解説

正弦定理より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 2R&=&\frac{a}{sin A}\\
\displaystyle &=&\frac{5}{sin 45^\circ}\\
\displaystyle &=&\frac{5}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\
&=&5\sqrt{2}
\end{eqnarray}

したがって、

\[\displaystyle R=\frac{5\sqrt{2}}{2}\]

 

練習問題2

\(△ABC\)において\(c=10\)で、外接円の半径が\(R=10\)のとき、\(\angle C\)の大きさを求めよう。

解説

正弦定理

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{c}{sin C}&=&2R\\
\displaystyle \frac{10}{sin C}&=&20\\
\displaystyle sin C=\frac{1}{2}
\end{eqnarray}

したがって、

\[\angle C=30^\circ,150^\circ\]

高校生
正弦定理が使えるようになりました!

正弦定理 まとめ

今回は正弦定理についてまとめました。

正弦定理 まとめ

正弦定理

正弦定理

△ABCの外接円の半径をRとすると、次が成り立つ。

\[\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\]

正弦定理を使うことで、辺の長さや角の大きさを求めることができます。

正弦定理と余弦定理

正弦定理を使う時

①1辺と2つの角が与えられている場合
②1組の向かい合う辺と角が与えられている場合
③外接円の半径を求めたい場合

余弦定理を使う時

①2辺とその間の角が与えられている場合
②3辺が与えられているとき

そして、正弦定理とあわせて理解したいのが余弦定理です。

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