sin(サイン)を用いる三角形の面積公式を解説!

「三角関数から三角形の面積が求められるの?」

そうなんです!

三角形の2辺とその間の角が分かれば、三角形の面積は求められるのです!

 

今回は三角形の面積をsin(サイン)を用いて求める公式をまとめましたので、ぜひ最後まで読んで見てください!

sinを用いる三角形の面積公式

sin(サイン)を用いた面積公式は三角形の2辺とその間の角が分かってるときに使うことができます。

sinを用いた面積公式

sinを用いた面積公式

2辺の長さ a, b とその間の角 A の三角形の面積は

\begin{eqnarray}
S &=& \frac{1}{2} b c \sin A \\
&=& \frac{1}{2} c a \sin B \\
&=& \frac{1}{2} a b \sin C
\end{eqnarray}

と表すことができる。

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sinを用いる三角形の面積公式 証明

sinを用いる三角形の面積公式

 

sinを用いた面積公式の証明をしておきましょう。

三角形ABCにおいて、角Cから辺ABに垂線を引き、垂線と辺ABの交点をHとする。

すると△ACHができる。

sinを用いる三角形の面積公式 証明

\(\displaystyle sin A=\frac{CH}{AC}=\frac{CH}{b}\)

なので、

\(CH=b sin A\)

三角形の面積は「底辺×高さ÷2」でしたね。

したがって、三角形の面積をSとすると

\(\displaystyle S=\frac{1}{2}bcsinA\)

\(\angle A、\angle B\)においても同じことが言えます。

 

sinを用いる面積公式<練習問題>

sinを用いる面積公式<練習問題>

 

今回学んだ面積公式を用いて練習問題を解いてみましょう。

練習問題1△ABCにおいて、\(AB=3\)、\(AC=5\)、\(\angle A=60^\circ\)の時、△ABCの面積を求めよ。

解説

練習問題1

sinを用いた三角形の面積公式より、

\(\displaystyle S=\frac{1}{2}bcsinA\)

\(\displaystyle =\frac{1}{2} \times 5 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\displaystyle =\frac{15\sqrt{3}}{4}\)

 

練習問題2△ABCにおいて、\(AB=3\)、\(AC=6\)、△ABCの面積が\(\displaystyle \frac{9}{2}\)のとき\(\theta\)の値を求めよ。ただし、\(90^\circ < \theta <180^\circ\)とする。

解説

練習問題2

これは面積がすでに分かっているタイプの問題

\(\displaystyle S=\frac{1}{2}bcsinA\)

\(\displaystyle \frac{9}{2}=\frac{1}{2} \times 6 \times 3 \times sinA\)

\(\displaystyle \frac{9}{2}=9\times sinA\)

つまり、

\(\displaystyle sinA=\frac{1}{2}\)

\(90^\circ < \theta <180^\circ\)なので、

\(\theta =150^\circ\)

 

三角形の面積公式 まとめ

今回は数学Ⅰの三角関数からsin(サイン)を用いた面積公式についてまとめました。

sinを用いた面積公式

sinを用いた面積公式

2辺の長さ a, b とその間の角 A の三角形の面積は

\begin{eqnarray}
S &=& \frac{1}{2} b c \sin A \\
&=& \frac{1}{2} c a \sin B \\
&=& \frac{1}{2} a b \sin C
\end{eqnarray}

と表すことができる。

 

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みんなの努力が報われますように!

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  • この記事を書いた人

ゆうや

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指導歴7年目の数学講師。大学1年生から塾講師バイトを始め、これまで250名以上を指導。「オンライン指導スタディトレーナー」代表。オンライン家庭教師のご依頼・お申し込みは、こちらの公式アカウントから承っております。

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