「三角関数から三角形の面積が求められるの？」
そうなんです！
三角形の2辺とその間の角が分かれば、三角形の面積は求められるのです！
今回は三角形の面積をsin（サイン）を用いて求める公式をまとめましたので、ぜひ最後まで読んで見てください！
sinを用いる三角形の面積公式
sin（サイン）を用いた面積公式は三角形の2辺とその間の角が分かってるときに使うことができます。
sinを用いた面積公式
2辺の長さ a, b とその間の角 A の三角形の面積は
\begin{eqnarray}
S &=& \frac{1}{2} b c \sin A \\
&=& \frac{1}{2} c a \sin B \\
&=& \frac{1}{2} a b \sin C
\end{eqnarray}
と表すことができる。
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三角関数が分かる！重要公式の使い方を丁寧に解説！
sinを用いる三角形の面積公式 証明
sinを用いた面積公式の証明をしておきましょう。
三角形ABCにおいて、角Cから辺ABに垂線を引き、垂線と辺ABの交点をHとする。
すると△ACHができる。
\(\displaystyle sin A=\frac{CH}{AC}=\frac{CH}{b}\)
なので、
\(CH=b sin A\)
三角形の面積は「底辺×高さ÷２」でしたね。
したがって、三角形の面積をSとすると
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}bcsinA\)
\(\angle A、\angle B\)においても同じことが言えます。
sinを用いる面積公式＜練習問題＞
今回学んだ面積公式を用いて練習問題を解いてみましょう。
解説
sinを用いた三角形の面積公式より、
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}bcsinA\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2} \times 5 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{15\sqrt{3}}{4}\)
解説
これは面積がすでに分かっているタイプの問題
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}bcsinA\)
\(\displaystyle \frac{9}{2}=\frac{1}{2} \times 6 \times 3 \times sinA\)
\(\displaystyle \frac{9}{2}=9\times sinA\)
つまり、
\(\displaystyle sinA=\frac{1}{2}\)
\(90^\circ < \theta <180^\circ\)なので、
\(\theta =150^\circ\)
三角形の面積公式 まとめ
今回は数学Ⅰの三角関数からsin（サイン）を用いた面積公式についてまとめました。
sinを用いた面積公式
2辺の長さ a, b とその間の角 A の三角形の面積は
\begin{eqnarray}
S &=& \frac{1}{2} b c \sin A \\
&=& \frac{1}{2} c a \sin B \\
&=& \frac{1}{2} a b \sin C
\end{eqnarray}
と表すことができる。
三角比や三角関数に関する記事をピックアップしたので、ぜひ参考にしてください。
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