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(-1)×(-1)=1の証明できますか?意外と知られていない証明

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(-1)×(-1)=1の証明できますか?意外と知られていない証明

 

(-1)×(-1)=1なんて当たり前じゃん!

 

そう思っていませんか?

当たり前なものほどちゃんと証明するのが難しかったりします。

 

でもやることは簡単だから大丈夫!

 
今回は\((-1)×(-1)=1\)の証明を、中学生でもわかるやり方で証明していきたいと思います。

 

記事の内容
・\((-1)×(-1)=1\)の準備
・\((-1)×(-1)=1\)の証明

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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\((-1)×(-1)=1\)の準備

\((-1)×(-1)=1\)の準備""
 
\((-1)×(-1)=1\)の証明をしていく前にいくつか準備が必要です。

1. \(a×1=a\)である。

2. \(a×0=0\)である。

3. \(a+(-a)=0\)である。

これらも当たり前のことに思われるかもしれません。

しかし、当たり前だと思っていることを証明するには、その前提となる当たり前を確認して約束しておく必要があります。

\(a×1=a\)である

 
「\(a×1=a\)である。」⇔「1は乗法の単位元である。」

少し難しい言葉を使いましたが、要するに「掛け算においては、何に1をかけても数は変わらないよ」ということを示しています。

うん、当たり前ですよね。

\(a×1=a\)
\(1×a=a\)

1は右から掛けても、左から掛けても数を変えません。

\(a×0=0\)である

 
つぎの乗法における\(0\)の確認です。

任意の数\(a\)に対して、

\(a×0=0\)
\(0×a=0\)

掛け算においては、すべての数において0をかけると0になってしまうことを約束しましょう。

a個のものが0セットあると考えれば、0なのは納得ですよね。

逆に0個のものをaセット用意しても、変わらず0ですね。

\(a+(-a)=0\)である

 

つぎにマイナスとは何かを定義します。

定義
任意の数\(a\)に対して、\(a+b=0\)を満たすような数\(b\)が存在するとき、このような数\(b\)を\(-a\)と呼ぶ。

したがって、\(a+(-a)=0\)である。

実数の足し算では交換法則が成り立つので、

\(a+(-a)=0\)
\((-a)+a=0\)

どちらも成り立つことが分かります。

以上の3つは、使っていいものとして\((-1)×(-1)=1\)を証明していきます。

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(-1)×(-1)=1の証明

(-1)×(-1)=1の証明
 

まずは、(3)の約束から以下のことが言えます。

\(1+(-1)=0\)

両辺に右側から\(-1\)を掛けます。
右辺は\(0\)なので(2)の約束から、何を掛けても\(0\)になります。

\(1×(-1)+(-1)×(-1)=0\)
 
(1)の約束より\(1×(-1)=-1\)なので

\(-1+(-1)×(-1)=0\)
 
最後に両辺の左側から1を加えると

\(1+(-1)+(-1)×(-1)=1\)

となり、(3)のマイナスの約束より

\((-1)×(-1)=1\)

以上で証明終了となります。
 
どうですか?

そんなに難しい式変形はなかったと感じます。

 

おわりに

 

今回は\((-1)×(-1)=1\)の証明をしました。

使ったのは、足し算と掛け算の性質をちょろっと使っただけでしたね。

当たり前だと思っていることも、なんでそうなるんだろう?と疑ってみると、もっともっと数学が楽しくなるかもしれません。

学校で習うような、問題演習だけが数学ではないので、これを機に数学に興味を持ってくれると嬉しい限りです。

 

Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。

 

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

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