「指数の計算ってどうやるんだっけ？」
「指数にマイナスがあるときは？」
今回は指数法則に関するこんな悩みを解決します。
指数の計算では、指数分数やマイナスが出てくることがあります。
例のような複雑な指数が出てきたら驚きますよね。
例
\[(a^{3})^{2}、a^{\frac{1}{2}}、a^{-2}\]
そんな指数の計算には必ず覚えておきたい重要公式が8つあります。
また、指数に関する計算公式を"指数法則"と呼ぶので合わせて覚えておきましょう。
指数法則の基本公式
\(a≠0,b≠0\)で、\(m,n\)が整数のとき
- \(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\)
- \((a^{m})^{n}=a^{mn}\)
- \((ab)^{n}=a^{n}b^{n}\)
- \(a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}\)
- \(\displaystyle \left(\frac{a}{b} \right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\)
基本の公式とあわせて、以下の3つの公式も重要です。
指数法則の重要公式
\(a≠0,b≠0\)で、\(m,n\)が整数のとき
- \(a^{0}=1\)
- \(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)
- \(\displaystyle a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)
本記事では指数法則のなかでも必ず覚えたい公式のみ解説しました。
ここで紹介する公式はこれからの単元で当たり前のように使います。この機会に必ず覚えましょう。
記事の内容
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ぜひ最後までご覧ください。
指数法則の基本公式
まずは指数法則の基本となる公式から確認します。
指数法則の基本公式
\(a≠0,b≠0\)で、\(m,n\)が整数のとき
- \(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\)
- \((a^{m})^{n}=a^{mn}\)
- \((ab)^{n}=a^{n}b^{n}\)
- \(a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}\)
- \(\displaystyle \left(\frac{a}{b} \right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\)
この指数法則は1年生の「数と式」でよく使う公式ですね。
参考
残り重要公式を早く知りたい方はこちら
それでは基本公式について詳しく解説します。
\(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\)の解説
\(a≠0\)で、\(m.n\)は整数ならば
\begin{eqnarray}
a^{m} \times a^{n}&=&(\underbrace{a \times a \times a \cdots }_{m個}) \times (\underbrace{a \times a \times a \cdots }_{n個})\\
&=&\underbrace{a \times a \times a \times \cdots }_{(m+n)個} \\
&=&a^{m+n}
\end{eqnarray}
よって、指数法則が成り立つことが分かります。
\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)の証明
\(a≠0\)で、\(m.n\)は整数ならば
\begin{eqnarray}
(a^{m})^{n}&=&a^{m} \times a^{m} \times a^{m} \cdots\\
&=&a^{mn}
\end{eqnarray}
\(a^{m}\)を\(n\)回掛けるので、\(a\)の\(mn\)乗になります。
\((a^{m})^{n}=a^{m+n}\)は間違いです。
\(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\)との勘違いに注意！
\((ab)^{n}=a^{n}b^{n}\)の解説
この指数法則はイメージしやすいですよね。
\(a≠0,b≠0\)のとき、
\begin{eqnarray}
(ab)^{n}&=&\underbrace{ab \times ab \times ab \times \cdots}_{n個}\\
&=&\left(a \times a \times \cdots \right) \times \left(b \times ab \times \cdots \right)\\
&=&a^{n}b^{n}
\end{eqnarray}
\(a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}\)の解説
累乗の除法は、指数の差で求めることができます。
\(a≠0\)で、\(m.n\)は整数ならば
\begin{eqnarray}
a^{m} \div a^{n}&=&(\underbrace{a \times a \times \cdots }_{m個}) \div (\underbrace{a \times a \times \cdots }_{n個})\\
&=&\underbrace{a \times a \times a \times \cdots }_{(m-n)個} \\
&=&a^{m-n}
\end{eqnarray}
\(\displaystyle \left(\frac{a}{b} \right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\)の解説
分数の累乗についても確認しておきましょう。
\(a≠0\)で、\(m,n\)は整数ならば
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\frac{a}{b} \right)^{n}&=&\underbrace{\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \cdots}_{n個}\\
&=&\frac{a^{n}}{b^{n}}
\end{eqnarray}
指数法則の重要公式
基本公式に加えて、重要な指数法則を3つ解説します。
どれもよく使う公式なので必ず覚えましょう。
指数法則の重要公式
\(a≠0,b≠0\)で、\(m,n\)が整数のとき
- \(a^{0}=1\)
- \(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)
- \(\displaystyle a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)
複雑な公式に見えますが、解説を見ていただければ納得できると思います。
なぜ\(a^{0}=1\)なの？
\(a≠0\)のとき、どんな数でも0乗は1になります。
\[a^{0}=1\]
とはいえ、0乗が1になることに疑問を抱く人も多いですよね。
私も始めてみたときは理解できませんでした。
例として\(a=2\)で考えてみましょう。
\begin{eqnarray}
2^{1}&=&2\\
2^{2}&=&4\\
2^{3}&=&8
\end{eqnarray}
ここまでは問題ないですよね。
これらの計算をもっと詳しく書きましょう。
\begin{eqnarray}
2^{1}&=&2\\
2^{2}&=&2 \times 2\\
2^{3}&=&2 \times 2 \times 2
\end{eqnarray}
指数（右上の数字）が1増えるたびに、掛ける2の個数が1つずつ増えていますね。
つまり、\(2^{0}\)は\(2^{1}\)を2で割ることで求められます。
\begin{eqnarray}
2^{0}&=&1\\
2^{1}&=&2\\
2^{2}&=&2 \times 2\\
2^{3}&=&2 \times 2 \times 2
\end{eqnarray}
同様にして、\(a^{0}\)は\(a^{1}\)を\(a\)で割ったものです。
したがって、\(a≠0\)のとき
\[a^{0}=1\]
\(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)の解説
指数がマイナスのときは、分数になることを覚えておきましょう。
なぜ分数になるのかを解説するにあたって、以下の指数法則を活用します。
指数法則
\begin{eqnarray}
a^{0}&=&1\\
a^{m} \div a^{n}&=&a^{m-n}
\end{eqnarray}
それでは解説していきましょう。
\begin{eqnarray}
\displaystyle a^{-n}&=&a^{0-n}\\
&=&a^{0} \div a^{n}\\
\displaystyle &=&1 \div a^{n}\\
\displaystyle &=&\frac{1}{a^{n}}
\end{eqnarray}
これでマイナス乗のときに分数になることを証明できました。
具体的な数字を入れて確かめてみると、
\(\displaystyle 2^{-3}=\frac{1}{8}\)
\(\displaystyle 3^{-2}=\frac{1}{9}\)
\(\displaystyle a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)の解説
指数が分数のときもありますね。
\(a\)の指数が\(\frac{1}{n}\)のときは、\(a\)の\(n\)乗根を表しています。
\(\displaystyle a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}\)
\(\displaystyle a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}\)
この指数法則を使うことで、
\begin{eqnarray}
a^{\frac{3}{2}}&=&a \times a^{\frac{1}{2}}\\
&=&a \sqrt{a}
\end{eqnarray}
このような計算もできるようになります。
指数法則《練習問題》
今回紹介した指数法則を使って、練習問題に挑戦してみましょう。
練習問題
次の計算を求めよう。
(1) \(a^{3} \times a^{4}\)
(2) \((a^{2})^{3}\)
(3) \(a^{2} \times a^{3} \div a^{7}\)
(4) \(\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{2} \times \left(\frac{a}{b}\right)^{3}\)
上記の4問を解説していきます。
指数法則に自信がない方は、1度手を動かして挑戦してみましょう。
練習問題1の解説
練習問題
次の計算を求めよう。
(1) \(a^{3} \times a^{4}\)
\begin{eqnarray}
a^{3} \times a^{4}&=&a^{3+4}\\
&=&a^{7}
\end{eqnarray}
この問題で使った指数法則
\[a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\]
練習問題2の解説
練習問題
次の計算を求めよう。
(2) \((a^{2})^{3}\)
\begin{eqnarray}
\left(a^{2} \right)^{3}&=&a^{2 \times 3}\\
&=&a^{6}
\end{eqnarray}
この問題で使った指数法則
\[\left(a^{m} \right)^{n}=a^{mn}\]
練習問題3の解説
練習問題
次の計算を求めよう。
(3) \(a^{2} \times a^{3} \div a^{7}\)
\begin{eqnarray}
a^{2} \times a^{3} \div a^{7}&=&a^{2+3-7}\\
&=&a^{-2}\\
\displaystyle &=& \frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray}
この問題で使った指数法則
\begin{eqnarray}
a^{m} \times a^{n}&=&a^{m+n}\\
a^{m} \div a^{n}&=&a^{m-n}\\
\displaystyle a^{-n}&=&\frac{1}{a^{n}}
\end{eqnarray}
練習問題4の解説
練習問題
次の計算を求めよう。
(4) \(\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{2} \times (\frac{a}{b})^{3}\)
\begin{eqnarray}
\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{2} \times (\frac{a}{b})^{3}&=&\left(\frac{a}{b}\right)^{5}\\
\displaystyle &=&\frac{a^{5}}{b^{5}}
\end{eqnarray}
この問題で使った指数法則
\begin{eqnarray}
a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\\
\displaystyle (\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}
\end{eqnarray}
指数法則の公式 まとめ
今回は指数法則の重要な公式を8つまとめました。
指数法則の公式 まとめ指数法則の基本公式
\(a≠0,b≠0\)で、\(m,n\)が整数のとき
- \(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\)
- \((a^{m})^{n}=a^{mn}\)
- \((ab)^{n}=a^{n}b^{n}\)
- \(a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}\)
- \(\displaystyle \left(\frac{a}{b} \right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\)
以下の3つの公式もかなり重要です。
指数法則の重要公式
\(a≠0,b≠0\)で、\(m,n\)が整数のとき
- \(a^{0}=1\)
- \(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)
- \(\displaystyle a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)
今回8つも公式を紹介しましたが、どの公式も覚えてしまえば簡単です。
指数法則は数学Ⅲでもよく使うので、この機会に覚えておかないとかなり苦労します。
でも、まだ慣れていないのでたくさん問題を解いてみます！
\(y=3^{x}\)のような指数に文字を含む関数を指数関数といいます。
指数関数のグラフや方程式について知りたい方はこちらの記事がおすすめです。
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