数学ⅠA 高校数学

三角形の傍心とは?

更新日:

三角形の傍心とは?

 

三角形の五心「内心」「外心」「重心」「垂心」「傍心」

五心の中でも有名なものと、なんだそれというものもありますね。

このページでは、三角形の「傍心」をピックアップして解説していきます。

 

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

  • 傍心とは?
  • 傍心の見つけ方が知りたい

 

三角形の傍心についてはこのページを見れば、ほとんど理解できるようにまとめましたので、ぜひ最後まで見ていってください。

それでは、三角形の垂心について解説してきます。

記事の内容
・三角形の傍心とは
・三角形の傍心と内心の関係
・三角形の傍心の見つけ方

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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三角形の傍心とは

 

三角形の傍心の定義から

三角形の傍心の定義
角の二等分線と2つの外角の二等分線の交点

定義で見てもピンとこないですよね。

 

ここに三角形があります。

三角形の傍心とは

 

三角形の外角の二等分線と、向かい合う頂点の二等分線が1点で交わります。

三角形の傍心とは

 

この点が、三角形の傍心です。

したがって、傍心は3点存在します。

三角形の傍心とは

 

三角形の傍心と内心の関係

 

三角形の内心は、角の二等分線の交点でした。

それに対して、傍心は外角の二等分線の交点なので三角形の外側に存在します。

三角形の傍心と内心の関係

 

傍心は一見扱いにくいですが,内心とほぼ同様に扱うことができます。

内心も傍心も角の2等分線の交点として定義されるので,ほとんど同じ性質を持っています。

内心でできることは傍心でもできて,内心でできないことは傍心にもできません。

内接円の性質に

\(s=\displaystyle \frac {a+b+c}{2}\)とすると、

\(S=\displaystyle \frac {1}{2} r(a+b+c)=rs\)

というものがあります。

三角形の傍心と内心の関係

そして、傍心を中心として、周りに接する半径\(r_{A}\)の傍接円を描くとき、

三角形の傍心と内心の関係

\(△ABC=-△I_{A}BC+△I_{A} C A+△I_{A}AB\)となり、

\(S=\frac{1}{2} r_{A}(-a+b+c)=r_{A}(s-a)\)

が成り立ちます。
 

 

三角形の傍心の見つけ方

 

三角形の垂心は、各頂点から垂線を実際に書くことで、見つけることができます。

 

必要なのは、三角形、筆記用具、コンパスです。

 

手順は簡単です。

どこかの頂点にコンパスの針を置いて弧を描きます。

そのとき辺と辺の延長線の2か所で交わります。

三角形の傍心の見つけ方

 

次に、どちらかの交点にコンパスの針を置きなおし、弧を描きます。

三角形の傍心の見つけ方

これができたら、もう片方の交点にコンパスを置きなおし、もう一度弧を描きます。

三角形の傍心の見つけ方

2つの弧の交点と、初めにコンパスを置いた頂点を結んだものが外角の二等分線です。

三角形の傍心の見つけ方

別の外角でも同様のことをします。

2つの外角の二等分線が交わったところが傍心です。

三角形の傍心の見つけ方

内角の二等分線も引いても良いですが、傍心の性質上交わることが分かっているので、タイムロスになるので急いでるときは注意してください。

 

おわりに

 

今回は五心の中から「傍心」をピックアップして解説しました。

垂心の性質はすでに知っているものとして、問題が出されるので、しっかりと覚えておくようにしましょう。

 

では、今回は以上になります。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

 

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