三角形の五心「内心」「外心」「重心」「垂心」「傍心」
五心の中でも有名なものと、なんだそれというものもありますね。
このページでは、三角形の「傍心」をピックアップして解説していきます。
今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。
- 傍心とは？
- 傍心の見つけ方が知りたい
三角形の傍心についてはこのページを見れば、ほとんど理解できるようにまとめましたので、ぜひ最後まで見ていってください。
それでは、三角形の垂心について解説してきます。
・三角形の傍心とは
・三角形の傍心と内心の関係
・三角形の傍心の見つけ方
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中
三角形の傍心とは
三角形の傍心の定義から
角の二等分線と2つの外角の二等分線の交点
定義で見てもピンとこないですよね。
ここに三角形があります。
三角形の外角の二等分線と、向かい合う頂点の二等分線が１点で交わります。
この点が、三角形の傍心です。
したがって、傍心は３点存在します。
三角形の傍心と内心の関係
三角形の内心は、角の二等分線の交点でした。
それに対して、傍心は外角の二等分線の交点なので三角形の外側に存在します。
傍心は一見扱いにくいですが，内心とほぼ同様に扱うことができます。
内心も傍心も角の2等分線の交点として定義されるので，ほとんど同じ性質を持っています。
内心でできることは傍心でもできて，内心でできないことは傍心にもできません。
内接円の性質に
\(s=\displaystyle \frac {a+b+c}{2}\)とすると、
\(S=\displaystyle \frac {1}{2} r(a+b+c)=rs\)
というものがあります。
そして、傍心を中心として、周りに接する半径\(r_{A}\)の傍接円を描くとき、
\(△ABC=-△I_{A}BC+△I_{A} C A+△I_{A}AB\)となり、
\(S=\frac{1}{2} r_{A}(-a+b+c)=r_{A}(s-a)\)
が成り立ちます。
三角形の傍心の見つけ方
三角形の垂心は、各頂点から垂線を実際に書くことで、見つけることができます。
必要なのは、三角形、筆記用具、コンパスです。
手順は簡単です。
どこかの頂点にコンパスの針を置いて弧を描きます。
そのとき辺と辺の延長線の２か所で交わります。
次に、どちらかの交点にコンパスの針を置きなおし、弧を描きます。
これができたら、もう片方の交点にコンパスを置きなおし、もう一度弧を描きます。
２つの弧の交点と、初めにコンパスを置いた頂点を結んだものが外角の二等分線です。
別の外角でも同様のことをします。
２つの外角の二等分線が交わったところが傍心です。
内角の二等分線も引いても良いですが、傍心の性質上交わることが分かっているので、タイムロスになるので急いでるときは注意してください。
おわりに
今回は五心の中から「傍心」をピックアップして解説しました。
垂心の性質はすでに知っているものとして、問題が出されるので、しっかりと覚えておくようにしましょう。
では、今回は以上になります。
最後まで読んでいただきありがとうございました。
✅ この記事を読んだ方はこちらの記事も読んでいます。
