図形の性質

三角形の傍心とは?傍心の性質と証明を解説!

三角形の傍心の性質と証明

「傍心ってどんな点?」
「傍心の性質が知りたい」
今回はこんな悩みを解決します。

高校生
三角形の傍心ってなんだろう...

三角形には五心と呼ばれる5つの点が存在します。

「内心」「外心」「重心」「垂心」「傍心」

本記事では、三角形の傍心について性質や証明を解説します。

傍心以外の五心については別の記事でまとめました。
三角形の五心の性質と証明を徹底解説!

 

三角形の傍心とは、1つの頂角の二等分線と2つの頂角の外角の二等分線の交点を指します。

本記事を読めば三角形の傍心についての悩みは解決できます。

記事の内容

ライター紹介

国公立の教育大学を卒業
数学講師歴6年目に突入
教えた生徒の人数は150人以上
高校数学のまとめサイトを作成中

 

三角形の傍心とは

三角形の傍心とは、1つの頂角の二等分線と2つの頂角の外角の二等分線の交点を指します。

三角形の傍心の定義
角の二等分線と2つの外角の二等分線の交点

文字で見てもピンとこないので実際に傍心をみせます。

 
動画で解説が見たい方は「とある男が授業をしてみた」の葉一さんが分かりやすく解説しています。

 

下の図のように三角形の3辺の延長線を描きます。

三角形の傍心とは

 

三角形の外角の二等分線と向かい合う頂点の二等分線が1点で交わります。

この交点が三角形の傍心です。

三角形の傍心とは

外角の二等分線2本と向かい合う頂点の二等分線がかならず1点で交わることの証明はこちら。
傍心の存在証明はこちらから

 

傍心は1つの三角形に対して3点存在します。

三角形の傍心とは

 

三角形の傍心と内心の関係

三角形の内心は角の二等分線の交点なので三角形の内側に存在します。

三角形の内心については「三角形の内心の性質と証明」で解説しています。

それに対して、傍心は外角の二等分線の交点なので三角形の外側に存在します。

三角形の傍心と内心の関係

 

内心と傍心ではまったく違う点に見えますが、内心と同じような性質を持っています。

内心と傍心のどちらも"角の2等分線の交点"なので似たような性質を持ちます。

その性質のひとつを紹介します。

 

内心は三角形の内接円の中心の点です。

三角形の面積を\(S\)、内接円の半径を\(r\)とすると

\(S=\displaystyle \frac {1}{2} r(a+b+c)\)

が成り立ちます。

三角形の傍心と内心の関係

 

それに対して、傍心を中心として周りに接する半径\(r_{A}\)の円を描きます。

この円を傍接円といいます。

三角形の傍心と内心の関係

このとき、

\(△ABC=-△I_{A}BC+△I_{A} C A+△I_{A}AB\)となり、

\(\displaystyle S=\frac{1}{2} r_{A}(-a+b+c)\)

が成り立ちます。

 

傍心の存在証明

三角形の傍心が存在することの証明をします。

「外角の二等分線と対角の二等分線が1点で交わること」がすべての三角形でいえるのかを確かめましょう。

 

長くなってしまったので証明が気になる方は下をクリックしてください。

+ 証明はここをクリック


 

\(\triangle ABC\)において、\(\angle B ,\angle C\)の外角の二等分線の交点を\(I\)とし

\(I\)より\(BC,CA,AC\)またはその延長線上にひいた垂線との交点を、それぞれ\(D,E,F\)とすると

傍心の存在証明

\(\triangle CDI, \triangle CEI\) において、

線分CIは\(\angle DCE\)の角の二等分線なので
\(\angle DCI=\angle ECI\)

また、
\(\angle CDI=\angle CEI=90°\)

CI は共通なので,
\(\triangle CDI \equiv \triangle CEI\)

よって,\(ID=IE\)…①

同様にして,\(ID=IF\)…②

①・②より,\(IE=IF\)…③

また,\(\triangle AEI,\triangle AFI\)において,

\(\angle AEI=\angle AFI\)…④

\(AI\)は共通 …⑤

③・④・⑤より,\(\triangle AEI \equiv \triangle AFI\) なので,\(\angle EAI=\angle FAI\)

したがって、\(AI\)は\(\angle A\)の二等分線となります。

よって,\(\angle A\)の内角の二等分線と,\(\angle B ,\angle C\)の外角の二等分線は1点で交わる。

傍心の性質

1つの三角形に対して、傍心と傍接円は3個存在します。

傍心は内心との類似点が多いので、行き詰ったときは内心の考え方でも試してみましょう。

 
そこで傍心・内心に関する重要な性質を 4つ紹介します。
 

【性質①】傍心は傍接円の中心である

傍心は傍接円の中心です。

傍心の性質

【性質②】傍心からの垂線の長さと傍接円の半径は等しい

△ABCにおいて、傍心からの各辺にひいた垂線の長さと傍接円の半径は等しい。

傍心の性質②

 

【性質③】△ABCの内心Iは、△ABCの傍心を頂点とする三角形の垂心

3つの傍心を\(I_{A},I_{B},I_{C}\)とすると、\(\triangle ABC\)の内心Iは\(\triangle I_{A}I_{B}I_{C}\)の垂心である。

傍心の性質

【性質④】傍心\(I_{A}\)は直線\(AI\)上に存在する

傍心も内心も角の二等分線の交点で定義される点なので、傍心\(I_{A}\)は直線\(AI\)上に存在する

三角形の傍心の性質4

 

三角形の傍心の書き方

三角形の傍心の書き方を図を用いて解説します。

 

必要なのは、三角形、筆記用具、コンパスです。

 

手順は簡単です。

どこかの頂点にコンパスの針を置いて弧を描きます。

そのとき辺と辺の延長線の2か所で交わります。

三角形の傍心の見つけ方

 

次に、どちらかの交点にコンパスの針を置きなおし、弧を描きます。

三角形の傍心の見つけ方

これができたら、もう片方の交点にコンパスを置きなおし、もう一度弧を描きます。

三角形の傍心の見つけ方

2つの弧の交点と、初めにコンパスを置いた頂点を結んだものが外角の二等分線です。

三角形の傍心の見つけ方

別の外角でも同様のことをします。

2つの外角の二等分線が交わったところが傍心です。

三角形の傍心の見つけ方

ココに注意

最後に内角の二等分線もひいても良いのですが、傍心の性質上1点で交わることは分かっているのでタイムロスになります。

傍心の位置ベクトル

傍心3点の位置ベクトルは以下のように表されます。

\(\displaystyle \frac{-a \vec{a}+b \vec{b}+c \vec{c}}{-a+b+c}, \frac{a \vec{a}-b \vec{b}+c \vec{c}}{a-b+c}, \frac{a \vec{a}+b \vec{b}-c \vec{c}}{a+b-c}\)

傍心の位置ベクトル《証明》

辺 \(BC\) に関して頂点\(A\)と反討側にある傍心\(I_{A}\left(\vec{i_{A}}\right)\)について証明する。
(他の傍心の場合も同樣)

明らかに, \(I_{A}\)は角\(A\)の2等分線上にあるから

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AI_{A}}}=s(\frac{1}{c} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{b} \overrightarrow{\mathrm{AC}})(0<s) \)と表せる。

一方で、

\(\mathrm{I}_{A}\)は角\(C\)の外角の2等分線上の点でもあるから

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AI_{A}}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CI_{A}}}\)

\(\displaystyle =\overrightarrow{\mathrm{AC}}+t\left(\frac{1}{a} \overrightarrow{\mathrm{CB}}+\frac{1}{b} \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right) \quad(t>0)\)

\(\displaystyle =\overrightarrow{\mathrm{AC}}+t\left\{\frac{1}{a}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})+\frac{1}{b} \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right\}\)

\(\displaystyle =\frac{t}{a} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\left(1-\frac{t}{a}+\frac{t}{b}\right) \overrightarrow{\mathrm{AC}}\)と表すこともできる。

 

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \neq \overrightarrow{0}, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \neq \overrightarrow{0} \)かつ\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)と\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)は平行でないから,

\(\displaystyle \frac{s}{c}=\frac{t}{a}, \frac{s}{b}=1-\frac{t}{a}+\frac{t}{b}\)を得る。

 

これを解いて,
\(\displaystyle s=\frac{b c}{-a+b+c}, \quad t=\frac{a b}{-a+b+c}\)を得る。

よって、
\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AI_{A}}}=\frac{b}{-a+b+c} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{c}{-a+b+c} \overrightarrow{\mathrm{AC}}\)

\(\displaystyle =\frac{b}{-a+b+c}(\vec{b}-\vec{a})+\frac{c}{-a+b+c}(\vec{c}-\vec{a})\)

\(\displaystyle =\frac{-b-c}{-a+b+c} \vec{a}+\frac{b}{-a+b+c} \vec{b}+\frac{c}{-a+b+c} \vec{c}\)

したがって、

\(\displaystyle \vec{i_{A}}=\vec{a}+\overrightarrow{\mathrm{AI}}_{A}=\frac{-a \vec{a}+b \vec{b}+c \vec{c}}{-a+b+c}\)

よって証明終了

三角形の傍心 まとめ

今回は五心の中から「傍心」をピックアップして解説しました。

三角形の傍心

三角形の傍心
 1つの頂角の二等分線と2つの頂角の外角の二等分線の交点

傍心の性質

  1. 傍心は傍接円の中心である
  2. 傍心からの垂線の長さと傍接円の半径は等しい
  3. △ABCの内心Iは、△ABCの傍心を頂点とする三角形の垂心
  4. 傍心\(I_{A}\)は直線\(AI\)上に存在する

傍心の性質についてはこちら

傍心はなかなか問題に出てきませんが、知っておくと周りと差がつきます。

 

ほかの三角形の五心については別記事で解説しています。図形が苦手な方はぜひ参考にしてください。
三角形の五心の性質と証明を徹底解説!

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